SÉANCE DU 3 NOVEMBRE I902. n3l 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les transrendantes uniformes de/inies 

 par les équations différentielles du second ordre. Note de M. î\. Liouville. 



« Dans une Note présentée à l'Académie le 8 septembre dernier et qui, 

 par suite de circonstances particulières, n'est venue sous mes yeux que 

 tout récemment, M. Painlevé s'est attaché à démontrer que l'analyse que 

 j'avais indiquée, pour l'étude de certaines équations différentielles du 

 second ordre, est illusoire. 



» M. Painlevé m'attribue cette conclusion : les équations 



pourraient être remplacées algébriquement par un système 



d'y ,j/ dz\ d-^z ^f dz\ 



dont les équations intégrales peuvent être mises sous forme linéaire à 

 l'égard des constantes arbitraires. 



» Il suffit de lire ma Note du i*""" septembre pour s'apercevoir que le 

 mot algébriquement ne s'y trouve pas, en sorte que M. Painlevé peut, sans 

 me toucher en rien, regarder comme illusoire une conclusion qui n'est pas la 

 mienne. 



» M. Painlevé insiste sur le nombre des fonctions arbitraires que com- 

 porte l'intégration générale du système (2), tel que je l'ai voulu construire. 

 Cette circonstance est tout à fait analogue à celle qu'on rencontre pour les 

 intégrales d'un système différentiel quelconque; elle n'a rien qui s'oppose 

 à la recherche d'un système (2), algébrique ou dépendant de transcen- 

 dantes déjà connues, s'il en existe un. 



» Celte recherche, à laquelle faisait allusion la fin de ma Note du i^'" sep- 

 tembre dernier, n'est pas encore terminée. J'ajouterai que la question dont 

 je me suis occupé ne coïncide pas avec celle qui a été traitée dans une Note 

 récente. 



» Pour préciser, il n'est ni démontré, ni vraisemblable, que toute équa- 

 tion irréductible, au sens de M. Drach, adopté par M. Painlevé, le soi! 

 aussi au point de vue que j'ai voulu étuilier. 



» Il s'agit, dans le premier cas, de savoir s'il existe entre les variables, 



