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» Quelque forme qu'il donne à sa proposition, M. Liouville na le choix 

 qu'entre un truisme (^évident pour n'importe quelle équation différentielle^ ou 

 une erreur. 



» J'arrive maintenant à quelques propriétés de l'équation (i) qui 

 découlent de son irréductibilité. 



» 2. De V intégrale de l'équation (^i) considérée comme fonction des con- 

 stantes. — Soient a7j,, y^, z^^ les valeurs initiales qui définissent une solu- 

 tion y{x) de l'équation (i). J'ai montré (') que y{x) est le quotient de 

 deux ïonXions entier es l:i , R de^r, -To,/,,, z^\ ces fonctions sont représen- 

 tables par des séries de polynômes en x, x^^, r„, z^y séries qui convergent 

 pour toutes les valeurs des variables et dont les coefficients s'obtiennent 

 par des dérivations successives effectuées sur (i). Une conséquence immé- 

 diate de ma dernière Communication, ceslque la fonction y regardée comme 

 fonction de y^ seul (^oudez^^) ne vérifie aucune équation différentielle algé- 

 brique. La même proposition s'applique à :;, ainsi qu'aux fonctions en- 

 tières H, R. Voici donc, introduites par la théorie même des équations 

 différentielles, des fonctions méromorphes telles que y = 9(jo)' ^^ holo- 

 morphes, telles que H(jKy), qui, de même que la fonction r, sont « trans- 

 » cendentally transcendental », j'entends ne satisfont à aucune équation 

 différentielle algébrique (d'ordre si élevé qu'elle soit). D'une façon plus 

 précise encore, soit y = çp(if, a?^, j^, x^o), z =^ ^l{x,x^^, y^, z^^) l'intégrale 

 générale de (i), où nous donnerons à x^ une valeur numérique a : les 

 fonctions^, z de x, y^, z^ vérifient le système 



^=z —=6y-'-hx EL ^ -EL Ê± 



^ , , ,r • dv dv dy dz dz dz à'- y 



» Toute équation algébrique en x,y,z, -f-, -~ ? 3^ > 3— ' 3— > 3— ' -j-^» • ■ •> 

 ^ * ' '-^ ' (ij; (?/o dzy, dx âvo az^ ôx- 



analy tique en y^, s^, que vérifient les fonctions 



j=: (p(i>7, a, jo,^o). z = ^{x,a, y^,z^)y 



est une conséquence des équations (2). 



» Une conclusion analogue s'applique si l'on remplace jo» -0 par des 

 constantes quelconques, liées analytiquement àjKo, z^^. 



•» 3. De la représentation de y{x) à Caide de fonctions entières. — Une 

 intégrale quelconque yi^x) de (i) s'exprime (/oc. cit.) à l'aide d'une fonc- 



(^) Bulletin de la Société mathématique de France, t. XXVIII, 1900, p. 48. 



