SÉANCE DU lO NOVEMBRE 1902. ySg 



tion entière y.(^x) sous la forme : 



(3) y(^x)='^-^-=--n\ ['"^^^l' 



Ja fonction x(a:) vérifiant l'équation du troisième ordre : 



ri"* — l\t)'^ — ixr! — 27] = o, avec Ti = -- • 



» Le genre, le mode de croissance pour x = co de la fonction /. sont 

 aujourd'hui connus. Une solution Jk(^) étant définie par des conditions 

 initiales données ^0» Jo« ^0» si Ton se propose de la calculer dans un cercle 

 donné avec une approximation donnée, on sait limiter le nombre de termes 

 qu'il faut prendre dans la série entière qui représente /, pour que la for- 

 mule (3) fasse connaître y(^r^ avec l'exactitude imposée. L'intégration 

 de l'équalion (i) est donc ainsi effectuée d'une façon parfaite à l'aide de la 

 fonction entière ■/,. Mais il est naturel de se demander s'il n'existe pas de 

 représentation analogue plus simple, j'entends une représentation à Vaide 

 d' une fonction entière que vérifie une équation différentielle d'ordre moindre 

 que 3. D'une façon précise, est-il possible d'exprimer j'(^) algébrique- 

 ment à l'aide de x^ H(a7), H'(a;), où H(^) désigne une fonction entière 

 qui vérifie une équation différentielle (algébrique) du deuxième ordre 

 (au plus)? Je vais montrer que la chose est impossible. 



» Tout d'abord on voit aisément que, si une telle représentation existe, 

 l'équation que vérifie H ne peut être d'ordre moindre que 2, et ensuite 

 Qu'une certaine expression algébrique A(.r, y, ^) devient une fonction en- 

 tière A, de X quand on y remplace y par une solution quelconque y(^x) de (1) 

 et z par sa dérii'ée. Une telle expression A ne peut être d'ailleurs qu'un 

 polynôme en y, z ; autrement, la relation algébrique S(x,y, s) = o, qui 

 définit les singularités (critiques ou polaires) de A, serait une intégrale 

 première particularisée de (i), ce qu'on sait impossible. Ceci posé, chan- 



Y Z 



geons, dans A, y en -^ et z en — ; A prend la forme 



■^[Ar^ix, Y, Z) + cAn-,(x, Y, Z) -+-. . .], 



A„ désignant un polynôme en Y, Z qui se reproduit multiplié par — quand 



Y Z 



on y change Y en — et Z en -y- Je conviens d'appeler n V ordre de A. Tous 



les polynômes en y, z d'ordre n sont des combinaisons linéaires (à coeffî- 



