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cients arbitraires en x) d'un nombre fini q d'entre eux, soit B,, Bj, ..., B^. 

 » Si maintenant je fais le nouveau changement de variable x = aX H- p, 

 l'équation (i) devient 



(4) Y;,= 6Y^+a*(aX + p), Z-Yx, 



et l'expression A prend la forme 



^^|A„(fi,Y.Z) + a.(...)]. 



» Par hypothèse, A„(|^, Y, Z) doit être une fonction entière de X quand 

 on y remplace Y et Z par p(X, o, A) et J)'(X, o, h) et, par suite, doit se 

 réduire à une constante; autrement dit, A;,(p, Y, Z) est une intégrale pre- 

 mière de l'équation (4) pour a = o, et (en vertu de son homogénéité spé- 

 ciale) coïncide avec une expression de la forme 



a(P)(Z*-4Y^)'« {n = Ç>m). 

 On voit ainsi que A(^, j, 2) peut s'écrire 



k = a{x){z' - 47^~r-l- B(^, r, z), 



B étant d'ordre (« — i) au plus. Si maintenant on calcule— |-^» on trouve 

 aussitôt 



A' étant un polynôme en y, z d'ordre n au plus. Comme -j-^ est holo- 



morphe en même temps que A,, on peut raisonner sur A' comme sur A, et 

 ainsi de suite q fois. On forme ainsi (^ 4- i) équations dont les premiers 



dK di h. 



membres sont A,, -7-7» •• > , ^S et dont les seconds membres sont de la 



forme :a^(^x)\^^ -{-...+ a^{x)^^-h a^^f(x). En éliminant lesB, on obtient 

 une équation différentielle linéaire que vérifie A, (x), résultat absurde, 

 car il entraîne presque immédiatement cette conséquence quej'(^) ren- 

 fermerait algébriquement ses constantes. c. q. f. d. 



» Le raisonnement, à peine modifié, conduit même à ce théorème plus 

 général : Jlest impossible d'exprimer T intégrale générale y(x) de (i). sous la 



forme Y=^y^ix, H, -r-y où ■/ désigne une fonction algébrique de H, -j— > 



