SÉANCE DU 10 NOVEMBRE 1902. 788 



aussi de définir la structure de ce groupe infini; c'est un point important sur 

 lequel je me propose de revenir dans une prochaine Note. 



» Comme conséquence importante, je signalerai le théorème suivant : 

 » Si un système d'équations aux dérivées partielles admet des caractéristiques 

 dépendant d'un nombre fini de constantes arbitraires, on peut, sans intégra- 

 tion, ramener la détermination de ces caractéristiques à l'intégration d'un 

 système d'équations différentielles de Lie associé à un groupe de structure 

 connue, à supposer toutefois que le système donné n admette pas de groupe 

 infini. 



» Par exemple, les systèmes en involution de deux équations aux déri- 

 vées partielles du second ordre à une fonction inconnue de deux variables 

 indépendantes dont les caractéristiques n'admettent aucune intégrale pre- 

 mière de la forme 



Y{x,y, z, p, q) = const., 



n'admettent jamais de groupe infmi de transformations (en x, y, z, p, q). 

 Le plus grand nombre fini qu'un tel système puisse admettre est le groupe 

 simple à i4 paramètres qui a été signalé par M, Engel et moi; sinon il 

 admet au plus un groupe à 7 paramètres, qui est intégrable. Dans ces 

 deux cas la solution générale dépend de 



a, /(oc), /'(a), n^), fir'{^)-^ir\^) + mf\..)]d.., 



a désignant une variable auxiliaire, /(a) une fonction arbitraire de x. Dans 

 le premier cas, /et m sont nuls; dans le second cas, ce sont des constantes 



qui n'interviennent d'une manière essentielle que par la combinaison — • » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur certaines égalités remarquables. 

 Note de M. W. Stekloff, présentée par M. E. Picard. 



« 1. Au début du Mémoire de M. Hurvvitz, qui vient de paraître dans le 

 dernier Cahier du Journal de l'École Normale (septembre 1902), j'ai trouvé 

 une démonstration nouvelle de la formule suivante : 



(i) -rf\^)dx='ibl-r^{ai + blY 



