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f{x)dx, 



' J{oc)s\\\nxdx, 







/(x)cosnxclx, 







ayant lieu, quelle que soit la fonction /(a;), bornée et intégrable dans l'in- 

 tervalle (O, 27c). 



» Je me permets de remarquer d'abord que cette formule a été établie 

 pour la première fois par M. Liapounoff en 1896 ('), comme je l'ai déjà 

 signalé dans ma Note Sur un problème de la théorie analytique de la cha- 

 leur {Comptes rendus, 4 avril 1898). Voir aussi mon Mémoiv^i Sur les fonc- 

 tions harmoniques de M. H. Poincaré {Annales de Toulouse, 1901, p. 290). 



M J'indiquerai ensuite que diverses égalités, analogues à celle de M. Lia- 

 pounoff, résultent immédiatement d'un théorème général que j'ai démontré 

 dans mon Mémoire : Problème de refroidissement d'une barre hétérogène 

 {Annales de Toulouse, 2^ série, t. lil, 1901). 



)) 2. Soient /? et ^ deux fonctions de la variable réelle x, continues et 

 positives dans l'intervalle de ^ = <2 à x ^b{b^a). Supposons que/? ne 

 s'annule pas dans cet intervalle. Désignons par k,^{n — i, 2, 3, . . .) une 

 suite de constantes déterminées positives ne dépendant que de p, q et de 

 l'intervalle {a, b); par V„(/i = i , 2, 3, . . .) une suite de fonctions corres- 

 pondantes vérifiant les équations 



Xi + {f^P — ^) V„ = o, a<Cx<C, b, 

 jointes aux conditions 



C pWldx = i, 



Y,fa) - hy,{a) = o, Y:Xb) -+- [iV,,{b) = o, 



A et H étant des constantes positives. 



» Dans le Mémoire cité (p. 3o6), j'ai énoncé la proposition suivante : 

 Quelle que soit la fonction f, continue dans linlers^alle {a,b), on a toujours 



l Ppdx=^kl, K==fjfyn 



dx. 



(') Communications de la Société mathématique de Kharkow {Extrait des Procès- 

 verbaux, t. VI, n° 6; séances des i3 décembre 1896, 20 janvier et 7 mai 1897). 



