SÉANCE DU 17 NOVEMBRE IQO'i. 849 



aux conditions tout à V heure énoncées, on a toujours 



(i) \ />d;cp6/a7=2A/cB/c4-v„, Aa.= / pr^Y^dx, ^k^ \ p'hY,,dx, 



OÙ [ voir mon Mémoire : Problème de refroidissement, etc. (^Annales de Tou- 

 louse, 1901, p. 3o5 et 3o6)] 



/ \ Il ^^ V 



" \/>^«+i 



» Il importe de remarquer que la démonstration de l'égalité (]) ne dépend 

 nullement du théorème de Weierstrass-Picard sur le développement des fonc- 

 tions en séries des polynômes. 



» Posons maintenant 



en désignant par / une fonction quelconque, continue dans l'inter- 

 valle (a, 6). 



» Il est évident que (p,j satisfait à l'inégalité 



9I ^^ < 77 / P^l ^^ < ~ / ^"' dx = Q-, 



Po J,, Po J„ 



Pf et/?o désignant le maximum et le minimum de p(x) dans rintervalle 

 donné, Q étant un nombre ne dépendant j)as de l'indice /i. 



» Désignons par a et [i (fi^a) deux nombres quelconques, compris 

 entre les limites a et b, et considérons l'intervalle (a, p) qu'on peut repré- 

 senter géométriquement par un segment a{3 de l'axe des x. Désignons 

 par AB le segment correspondant à l'intervalle donné (a, b). On peut 

 toujours construire une fonction <\i^ continue avec sa dérivée du premier 

 ordre en tous les points du segment AB, égale à zéro pour 



< ->- < ^ (^ _ 



aix^iT., 'i2x 



et restant positive en tous les points du segment a|i. 



» Cela posé, appliquons la formule (i) aux fonctions ^]/ et -p,,. On 

 aura 



/ P'^^n àx r^ / /JtLo,^ dx = A„, 



