85o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



d'où, en tenant compte du théorème de la moyenne, on tire 



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'J n 



ï, désignant un point, situé à l'intérieur du segment a(3. Désignons par m 

 le minimum, par N^ le maximum de toutes les valeurs des intégrales 





correspondant aux diverses positions possibles du même segment a[i à l'in- 

 térieur du segment AB. On aura, en tenant compte de (2), 



KN 





Cette inégalité a lieu, quel que soit le nombre de n; en le choisissant con- 

 venablement, on trouve 



(3) I?.(Ç)|<=. 



£ étant un nombre positif, donné à l'avance. Il existe donc un point ç, 

 intérieur au segment oc^, quelle que soit sa position à l'intérieur du segment 

 donné AB, tel que le module de <p„(^) en ce point sera plus petit qu'un 

 nombre s, donné à l'avance. Considérons une position quelconque du 

 segment a^; supposons qu'il subisse un déplacement continu suivant l'axe 

 des X. Le point l, correspondant à chaque position du segment a(3, le 

 subira également, car (p^^ est une fonction continue. Lorsque le segmenta^ 

 prendra la position ^^t, le point ^ se déplacera de ^ à un point ç, situé à 

 l'intérieur de ^,8,, et passera par tous les points du segment ^E,. Il s'ensuit 

 que le module de (i^n(^) doit rester inférieur au nombre s pour tous les 

 points de l'intervalle l^^, puisque l'inégalité a lieu pour toutes les positions 

 du segment a[3 sur l'axe des x. 



» En continuant les mêmes raisonnements et en remarquant qu'ils 

 restent vrais quelle que soit la grandeur du segment yJi, nous nous assu- 

 rerons aisément que l'inégalité (3) a lieu pour tous les. points de l'inter- 

 valle donné AB. On obtient ainsi le théorème suivant : 



» Théorème. — On peut trouver une suite finie 



