SÉANCE DU 17 NOVEMBRE 1902. 853 



les CTx désignant p nouvelles expressions de PfaiT. Les ci^^ et les ax,, sont 

 encore des constantes. Si le groupe est intransitif, il en est de même, sauf 

 que les coefficients c et a peuvent être des fonctions des invariants du 

 groupe. 



» Ces quantités c et a ne sont d'ailleurs pas arbitraires. Je n'énonce pas 

 les conditions nécessaires'auxquelles elles doivent satisfaire ; je me contente 

 de signaler ce fait important que les p transformations infinitésimales 



1,2, ...,/- 



2 ^•>"'''"£; (x=i, 2, ...,p) 



forment un groupe linéaire G que nous disons associé au groupe infini 

 considéré. 



» D'ailleurs le système (w,, ..., oj^) n'est pas unique; mais il est très vrai- 

 semblable, et cela est certain pour les groupes transitifs simples dont il 

 sera question plus loin, qu'il existe une valeur minima de /'et un système 

 unique déterminé d'où tous les autres peuvent se déduire par des procédés 

 simples. Ce nombre minimum r définit Vordre du groupe. 



» Pour les groupes infinis il y a une différence essentielle, au point de 

 vue de la structure, entre les groupes transitifs et les groupes intransitifs. 

 Certains groupes intransitifs ne sont isomorphes à aucun groupe transitif : 

 par exemple le groupe 



x'=x, y = y-\-f{x). 

 » D'une manière plus précise, considérons le système 



y^^\is^i=^ (1 = I, ..., p; ^ = I, 2, ..., r) : 



i 



Ce système est complètement intégrable; ceux des invariants du groupe qui 

 sont des intégrales de ce système ne peuvent pas être éliminés; les autres 

 peuvent l'être sans changer la structure. 



» Il se produit alors ce fait remarquable que, tandis que la structure des 

 groupes transitifs ne dépend que de constantes, celle des groupes intransitifs 

 peut dépendre, en outre, de fonctions ; je citerai les deux groupes suivants : 



(3) x'^x, y=f{y), -'' = 4/(j)r+?('^'r); 



(4) x' = x, y=yA^) + ^{oc\ z' = zy{x)Y+h{x). 



n Les applications que l'on peut faire des groupes à la recherche des 



c. R., 1902, 2* Semestre. (T. CXXXV, N« 20.) ^ ^^ 



