SÉANCE DU 24 NOVEMBRE l()02. 889 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur ks fonctions monodromes à point singulier 

 essentiel isolé. Note de M. Edmond Maillet, présentée par M. Jordan. 



« On peut toujours, grâce à un changement de variables, faire en sorte 

 que ce point critique soit co. 



)) Soit donc F(:;) une fonction monodrome dans une région R compre- 

 nant tous les points du plan des z à l'extérieur d'une courbe fermée F con- 

 tenant l'origine ( ' ). On a dans R, d'après la série de Laurent, 



<p( - I restant fini dans R, ainsi que ses dérivées et tendant même vers o, 



avec -j <Po(^) étant une fonction entière. 



» Il est naturel de classer la croissance de F(^) comme celle de 9o(^)- 

 F et çp seront en même temps d'ordre fini ou infmi pour ;s = oc. Nous dirons 

 que F(::) est une fonction quasi-enlière dans Kpour z = cci. 



» On obtient alors, en appliquant à F (z) des raisonnements semblables 

 à ceux de la théorie des fonctions entières, les résultats suivants : 



» I. On a dans R 



F(^) = <?{^ + <?o(^) = :^,Q(^)^^' 



où k est un entier nul ou positif, Q(z) une fonction entière, 'l)(z) une 

 fonclioii monodrome et finie d;ms R. 



M F, (po, Q sont simultanément d'ordre fini ou infini. 



» II. La condition nécessaire et suffisante pour que la croissance 

 de F(:;), supposé d'ordre fini j)our z = co, soit régidière, pour s = oo, est 

 que la distribution de ses zéros soit roguhère aux environs de ce point; il 

 en est alors de même pour Ço(^)' 



» III. Supposons que F{z) oit réelle, d'ordre <2 pour 5 = ^o, et n'ait 

 dans R qu'un nombre limité de racines imaginaires. 



)) Si F(z) a une infinité de racines réelles, il en est de même de sa 

 dérivée, et, dès que (z) dépasse une limite déterminée, entre deux racines 



(^) On peut également le supposer grâce à un changement de variables. 



C, R., 1902, 2' Semestre. (T. CXXXV, N" 21.) II7 



