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de F(^) il y a une et une seule racine réelle de F'(^) : de plus F'(-) \\'i\ 

 qu'un nombre limité de racines imaginaires. 



» Si la fonction F (5) n'a qu'un nombre limité de racines, la dérivée a un 

 nombre limité de racines. 



» IV. Si F est d'ordre p et donné, parmi toutes les fonctions F(p — <p, où 

 o et <p, sont des fonctions quelconques de même nature mais d'ordre -< p, 

 il y en a une au plus d'ordre rée! inférieur à p. 



» Parmi les équations F — — == o il y en a une au plus telle que l'expo- 

 sant de convergence de la suite de ses racines soit inférieur à p. 

 )) V. Si F est donné "et tel que 



F < /' "" 



(m constante) pourr= l^:;], et si o, o,, t]^, ^J;, sont des fonctions d'ordre 

 fini dans R telles que 



9h — (Lcp, ^ o, 



les deux fonctions cpF — <p,, ^^F — ^j^, ne peuvent être toutes deux d'ordre 

 réel fini que si F est d'ordre fini. 



)) Parmi les équations F = -^, où F est donné et d'ordre infini, il y en a au 



plus une telle que la suite de ses racines ait un exposant de convergence 

 fini. 



)) On retrouve ainsi, dans les deux cas particuliers que l'on peut consi- 

 dérercomme les plus importants, un théorème remarquable deM.Picard('), 

 sur les raciues d'une fonction monodrome aux environs d'un point essentiel. 



» VI. Une fonction quasi-raéromorphe $ dans R pour z = co (c'est-à-dire 

 qui n'y a que des zéros et des pôles en dehors de co) est le quotient de 

 deux fonctions quasi-enlières dans R pour 2 = co. 



» L'ordre de O sera le plus grand tus ordres de ces deux fonctions. 



)) VII. Parmi toutes les fonctions <ï> — o d'ordre fini p, cp étant une quel- 

 conque des fondions analogues à <ï>, mais d ordre <] l'ordre p de <ï>, il 

 y en a une au plus d'ojdres réels tous inférieurs à ceux de 0, deux au 

 plus telles que les exposants de convergence des suites des modules i^le 

 leurs racines soient inférieurs à p (-). 



(i ) Traité d'Analyse, t. III, p. 346. 



(-) Comp., pour tout ce qui précède, BouEL, Leçons sur les fonctions entières 

 (Paris, 1900) et Annales de l'Ecole Nonnale, 1901, p. 21 j, et noire Cominunicalion 

 du 17 février 1902, 



