SÉANCE DU 24 NOVEMBRE 1902. 89 1 



» En résumé, beaucoup des j3ropriétés des fonctions entières et quasi- 

 entières s'étendent, souvent avec des démonstrations semblables, aux fonc- 

 tions monodromes à point singulier essentiel, aux environs de ce point, 

 principalement les propriétés asymptotiques. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une extension de la notion de périodicité. 

 Note de M. E, Esclangox, présentée par M. Painlevé. 



« On rencontre dans un certain nombre de problèmes des fonctions qui 

 peuvent se mettre sous la forme de fonctions de fonctions périodiques de 

 périodes différentes. Il est possible de faire parmi ces fonctions une classi- 

 fication spéciale, en montrr.nt qu'elles appartiennent à une classe plus 

 générale de fonctions, dont les propriétés tiennent à une extension nou- 

 velle de la notion de périodicité. Ces fonctions peuvent se rencontrer dans 

 des problèmes divers où se mêlent en quelque sorte des éléments pério- 

 diques différents et semblent y jouer un rôle important. Je me bornerai 

 dans celte Note au seul cas des fonctions de variables réelles; et je me ser- 

 virai de quelques propriétés très simples et faciles à établir. 



» Soit F(,r,, iTo, ..., £r„) une fonction continue des variables a?,, ^2» •••^ 

 x^. On dit que les nombres réels a,, a,, . . ., a„ sont les éléments d'une 

 période w si l'on a identiquement 



Y{x^ H-a,,a72-|-y.,,, . . .,a7„-4-a„) =^¥{x^,X.^, .. . , .^„), 



le nombre ya^ -h a^ H-. . .+ y^ est le module de la période considérée. 



)) La fonction F(^,, x^, • • . , x^,') est dite linéairement irréductible si, par 

 toute substitution linéaire sur a?,, x.,^ ..., a7„ il est impossible de la ramener 

 à une fonction d'un nombre moindre île variables; si elle est réductible, 

 on peut la ramener à une fonction <ï>( v,, y^, . • . , r^ ) {p<in), fonction 

 irréductible de /,, J^2» • • • » Yj,- 



» Une fonction irréductible ne peut admettre des périodes dont le mo- 

 dule soit inférieur à tout nombre donné. L'ensemble des périodes est dans 

 ce cas un ensemble dénombrable. On peut choisir p périodes ^M^ , Wo, ..., Wp, 

 de telle façon que toute période m soit une somme géométrique de la 

 forme 7n(o}^ ) h- m((ù.,) -+-...-•- m(w^), m,, m.., .... nip étant des nombres 

 rationnels et même des entiers positifs ou négatifs. Le nombre/?, toujours 

 inférieur ou au plus égal à n, est l'ordre périodique de la fonction F. 



» Si la fonction F est réfhictible, l'ordre périodique est celui des fonc- 

 tions irréductibles qu'on déduit de F par des substitutions linéaires conve- 



