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nables. L'ordre périodique reste inaltéré par toute substitution linéaire à 

 déterminant différent de o. 



» Soient maintenant at,, «o, . . ., a«, n nombres réels non nuls que j'ap- 

 pellerai des périodes; les périodes seront dites indépendantes s'il n'existe 

 aucune relation de la forme 



Al An A ,, 



— + — -h. . .+ — = O, 



dans laquelle >,, "Xo» • • •» ^-« désignent des coefficients rationnels positifs ou 

 négatifs. 



» Si a,, «2' • • •> (^n sont des périodes indépendantes, je dirai que la pé- 

 riode a appartient au corps de ces périodes, quand elle est dépendante 

 avec a,, a^, ..., a^. L'ensemble des périodes <2 définit un corps périodique 

 d'ordre n. 



» Si a,, «2, . . ., a^ sont des périodes dépendantes, on peut toujours les 

 considérer comme des éléments d'un corps d'ordre/? <^ n. 



n Soient ât,, «2, . . ., <2„, n périodes indépendantes ou non, je dirai que 

 a?,, œ^, . . ., cc,i définissent un élément du champ absolu des périodes, s'il 

 existe un nombre x et des entiers m,, m^, . , ., m„ vérifiant 



X H- m, « , = ^, , X -h m^ «2 = ^2» • • • » x -h m,^ a^ = cr„. 



» Le champ absolu est un ensemble d'éléments dont les éléments 

 limites constituent le champ total, et j'établis le théorème suivant : 6V les 

 périodes a, , «2» • • •» ^« ^^^^ indépendantes , le champ total se compose de tous 

 les points de l'espace à n dimensions; en d'autres termes, a?<, ^o» • • •» ^n 

 étant arbitrairement choisis, on peut trouver x et des entiers Tn^, m.,, . . ., 

 m„, tels que les différences 



a: -h w , a, — x, , x -{- ni.^a^— x^^ x -\- m^a,, — x„ 



soient aussi petites que l'on veut. Si «,, «2» • • • ? ^« sont dépendantes, ces 

 différences ne peuvent être rendues infiniment petites que s'il existe entre 

 Xf, x.^, ..., x,i certaines relations linéaires qui se déduisent aisément de 

 celles existant entre les périodes. Dans tous les cas, le nombre des variables 

 x^yXç^, ..., Xn qui pcuvcnt être arbitrairement choisies est égal à l'ordre du 

 corps des périodes «j , a^, . . . , «^. 



» Ceci posé, soienl/(a;) une fonction continue pour toute valeui* .r ; a,, 

 «2» ..., «7» des périodes indépendantes ou non ; x^, x^, . . . , a7„ un élément 



