SÉANCE DU 24 NOVEMBRE 1902. 898 



quelconque du champ total. Par hypothèse même, les différences 

 a; 4- m, a, — £r, , . . . , x ^ m,ian — x^ 



peuvent être rendues infiniment petites, 



» Nous dirons quef(x) est une fonction quasi-périodique si, étant donné 

 £ aussi petit que l'on veut, on peut trouver S tel que, sous les conditions 



on ait 



I / {^X j iJi^X^ , X2, - • ' , X,^ j I _ £, 



et cela pour tous les éléments du champ total. Le nombre L, s'il existe, est 

 donc une fonction de l'élément du champ total : c'est une fonction de 

 p variables indépendantes si le corps des périodes a est d'ordre p, elle est 

 d'ailleurs périodique j)ar rapport à chacune des variables x,, x^, . . ., x^et 

 vérifie l'identité /(x) --= L (x, x, .. . , x). Un problème qui se pose immé- 

 diatement est celui de la recherche de tous les systèmes de périodes a, qui 

 peuvent jouer vis-à-vis de /{x) le même rôle que a,, «3, . . . , «„. On voit 

 aisément que, parmi les périodes a,, «2. ■■■, an, on peut se borner à celles 

 d'entre elles qui sont indépendantes : si p est leur nombre, on obtient ainsi 

 une certaine fonction L{x^, x.,, . . . , Xp). 



» J'appellerai ordre périodique de la fonction /(x), l'ordre périodique q 

 delà fonction des p variables indépendantes L (07,, a^o, ...,x^,). Le nombre ^ 

 est un entier caractérisant essentiellement la fonction /(ic) au point de vue 

 de la périodicité. Si ^ = i on retombe sur la périodicité ordinaire. On dé- 

 finit enfin l'existence d'un corps de périodes, corps d'ordre q, tel que q pé- 

 riodes indépendantes, arbitrairement choisies dans ce corps P, peuvent 

 jouer vis-à-vis de y^(^) le rôle que j'ai attribué à a^, tZo, . . ., f^ni^q est tou- 

 jours inférieur ou au plus égal à n). A chaque système a,, y.^, . . . , a^ de 

 périodes ainsi choisies correspond une fonction L(a;,,^2, . . . , x^), que 

 j'appelleraiyb/2c//o/i associée nécessairement irréductible, périodique sépa- 

 rément par rapport à chacune des variables. 



)) On passe d'une fonction associée à une autre fonction associée par 

 des formules de substitutions linéaires très simples. Le corps des pé- 

 riodes P est le corps des périodes de la fonction /(x). 



» Une classe importante de fonctions quasi-périodiques est celle des 

 fonctions de fonctions périodiques. Si u^(x), u<y{x), . . . , u^{x) sont des 

 fonctions continues simplement périodiques, toute fonction continue 

 uniforme ¥[u^{x), u.^^x), . . ., u,i(x)] est une fonction quasi-périodique 



