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est alors toujours convergente et l'égalité 



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a lieu partout dans l'intérieur d'une certaine étoile B qui a été déterminée 

 par M. Borel. M. Phragmén a montré que cette étoile est en même temps 

 une étoile de convergence pour l'intégrale de Laplace-Abel 





M Dans un Mémoire que je viens de publier [5«/ fa /représentation ana- 

 lytique d'une branche uniforme d' une Jonction monogène. Quatrième Note 

 (yAcia math., t. XXVI)] j'ai montré qu'en s'aidant d'un paramètre positif a 

 remplissant la condition o <^a5i, on peut remplacer la fonction entière 

 F(coa7) par une autre fonction entière plus générale F(^, co, a) telle que 

 B'(ir, o), i) = F(w^), et qu'on obtient en même temps 



FA(a;) = lim / fi-"F(i>:-, co, y.)diù. 



Cette égalité a lieu partout à l'intérieur de Tétoile A, qui est encore une 

 étoile de convergence pour l'intégrale de Laplace-Abel modifiée 



lim / e '"F (a:, oj, y.^doi. 



» Au moment de terminer mon travail, j'ai eu connaissance d'un beau 

 résultat de M. Le Roy \^Sur les séries divergentes et les fonctions définies par 

 un développemement de Taylor (^Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 

 t. II, année 1900, p. 3:22-328)], à savoir que l'égalité 



FA(it;) = liiî^y^ -p7 r <?rt^" (^ positif, réel, plus petit que i) 







a lieu partout à l'intérieur de l'étoile principale A. En s'aidant de cette 

 expression, on peut modifier (d'une autre manière que celle que j'ai em- 

 ployée dans ma Note 4) l'intégrale de Laplace-Abel, de manière à repré- 

 senter la totalité de la branche fonctionnelle FA(^). On obtient en réalité 



FA(^) = lim f e'^¥{i^'x) doj, 

 égalité valable partout à l'intérieur de A. 



