SÉANCE DU l*"" DÉCEMBRE T902. 947 



On trouve, en tenant compte du théorème de ma Note précédente, 



b 



, 'f K^^djc f pdx 



(3) T,.^/R;;^.<V- = /-<^<^^^i^^ 



M, désignant le maximum de module/'(a?) dans l'intervalle («, ^). 



» L'égalité (2) montre que R^ est une fonction de x, continue avec sa 

 dérivée à l'intérieur de l'intervalle («, h) et s'annulant pour les limites de 

 cet intervalle. On a donc 



d'oii, en vertu de (i) et de (3), 



» On obtient donc le théorème suivant : 



» Théorème. — Toute fonction f, continue, admettant la dérivée du pre- 

 mier ordre dans l'intervalle donné (a, b) et s'annulant pour les limites de cet 

 intervalle y se développe en série uniformément convergente de la forme suivante : 



' '-■" -ax. 



a , v^ • n-{x — «) r r . 

 -/-2i^"^ b-a -J ^''" 



» La valeur absolue du reste de cette série ne surpasse pas la quantité 



{b — a)\l^ M, 



\Jt, \Jn-\-i 



M, désignant le maximum du module de f(x) dans l'intervalle donné. 



)) Ce théorème n'est qu'un cas particulier d'un théorème plus général 

 qui s'énonce comme il suit : 



» Théorème. — Toute Jonction f, satisfaisant aux conditions du théorème 

 précédent, se développe en série uniformément convergente de la forme suivante : 



(4) /=i;A,V,, K = jpfV,dx, 



