SÉANCE DU s^'" DÉCEMBRE 1902. C)53 



» L'appréciation de M. Painlevé sur tous ces points se ressent, je le 

 crains, de l'erreur qu'il m'attribuait d'abord. 



» Au lieu du couple d'intégrales de l'équation différentielle dont il 

 s'agit, je considère trois solutions d'un système d'équations aux dérivées 

 partielles. Ces solutions, dont la connaissance permettrait d'intégrer 

 l'équation proposée, n'en sont nullement des intégrales, bien qu'elles 

 jouent un rôle analogue. 



» En disant que la question ainsi posée se trouve résolue par sa Note du 

 27 octobre, voici en définitive le théorème que M. Painlevé donne indi- 

 rectement comme démontré : 



» Soient 



djr.-, d'^x, d- X 



X.. = -7— -> X.. = , " ? X 



dx^ ' dx\ ' "• dx\ 



de sorte que x^^, x- sont des fonctions de Xf, x.,, x.^, données en vertu de 

 l'équation différentielle qu'il s'agit d'étudier. 



» Si l'on désigne par h, h', h" les indices i, 2, 3 placés dans un ordre 

 quelconque et que l'on pose 



en représeut-Mit par z^, z.^, z^ trois fonctions inconnues de x^, x.^, x^\ 

 par z''*'\ 2 1''^ , ... leurs dérivées partielles des deux premiers ordres, les 

 équations 



2 ("^'sP/' — ^2/>S)^.V<^^A.-l + -r, = O, 

 U./c) 



l'A) 



définissent les s et, comme conséquence, les pfj.. 



» Quand l'équation différentielle proposée est irréductible, au sens 

 adopté par M. Painlevé, c'est-à-dire quand il n'existe, entre deux intégrales 

 distinctes et leurs dérivées partielles d'ordre fini, aucune relation algé- 

 brique différente de celle qui se déduit de la connaissance du dernier 

 multiplicateur, il arriverait toujours que, parmi les fonctions pfl, l'une au 

 moins fût transcendante. 



>i Cette proposition, supposée exacte, traduirait une propriété des fonc- 

 tions s, qui n'étant, pour l'équation proposée, ni des intégrales, ni des 



C. R., 1902, 2" Semestre. (T. CXXW, >> 22.) ^ ^^ 



