SÉANCE DU 8 DÉCEMBRE 1902. I02I 



M 2. Ecrivons l'équation (i) SOUS la forme 



et soit u{x,y,z) une intégrale première de (2). Appelons, d'autre part, 

 système 1, tout système d'équations aux dérivées partielles en Mp(a7,j, 5) 

 dont la solution générale est de la forme 



\ (âf|, «o, «3, rt,, constantes arbitraires). 



Un tel système est linéaire par rapport kwelk ses dérivées premières, et 

 ses coefficients sont des coefficients analytiques àex,y, z. Ceci posé, le 

 résultat démontré par M. Liouville s'énonce ainsi : 



» // existe des systèmes 1 tels que le quotient u= — de deux solutions arbi- 

 traires MP",, w.^ del soit une intégrale première de (^2.). 



» Cette proposition est évidente pour n importe quelle équation du second 

 ordre. Ecrivons, en effet, une telle équation sous la forme 



^^^ '£0^^' ^==^(^'^'^) (R algébrique en a;, r, s), 



et appelons système S tout système 2 tel que le quotient de deux solutions 

 quelconques de ^ soit une intégrale première de (4)- Pour obtenir un 

 système S, il suffit de choisir arbitrairement une fonction /"(^Pjjy, 5) et 

 quatre intégrales premières w,, m,, «3, u,^ de (4); si l'on pose 



w ^ (a^Uf -h a^Uo-i- a^ u^ -+- a^, u., )/, 



la fonction w vérifie un système différentiel 2 qui est un système S, et 

 tous les systèmes S peuvent s'obtenir de cette manière. 



» Un système S une fois connu, son intégration revient (d'après la mé- 

 thode de Meyer, par exemple) à celle à'une équation linéaire ordinaire du 

 quatrième ordre. Mais, quand l'équation proposée (4) est quelconque, il est 

 impossible, en général, de construire effectivement un système S. En effet, 

 les coefficients d'un quelconque de ces systèmes sont des fonctions analy- 

 tiques de X, y, z qui vérifient certaines équations (algébriques) aux déri- 

 vées partielles ( ^ ), soit T. Or l'intégration de ces équations T revient à celle 



(*) Ces équalions T sont les conditions nécessaires et suffisantes : 1° pour que les 



