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d'une certaine équation différentielle ordinaire, du deuxième ordre, qui 

 est de l'espèce la plus générale en même temps que la proposée. D'une façon 

 plus précise, cette équation auxiliaire du deuxième ordre est, en général, 

 exactement équivalente à la proposée (4) : autrement dit, l'intégration 

 d'une de ces deux équations entraîne celle de l'autre, sans intégrations 

 nouvelles. Il n'en est autrement que pour des équations (4) exception- 

 nelles; par exemple, si l'équation (4) est convenablement choisie, il 

 existera un système S algébrique en x, y, z. 



» 3. Ces remarques faites, je reviens aux propositions de M. Liouville. 

 Ayant établi pour l'équation (i) l'existence des systèmes S (évidente pour 

 toute équation du deuxième ordre), M. Liouville en conclut immédiate- 

 ment : 



» L'intégration de l'équation (i)est ainsi réduite à celle d' un système linéaire 

 du quatrième ordre (système S). 



» Qui ne voit que la conclusion exacte est la suivante : 

 « L'intégration de (i) est ainsi ramenée : i** à la formation effective 

 » d'un système S ; 2° à l'intégration de ce système linéaire » ? 



» Cet énoncé est vrai pour toute équation (4). Mais l'opération i° est 

 impossible à effectuer si l'équation (4) n'est pas exceptionnelle, et 

 M. Liouville ne montrait nullement (') que l'équation (i) fût (à ce point 

 de vue) exceptionnelle. 



» C'est là ce que j'ai expliqué en substance dans ma réponse du 8 sep- 

 tembre. M. Liouville objecte que cette réponse ne lui a rien appris. Par 

 conséquent, lorsqu'il a rédigé sa Note du i"' septembre, M. Liouville 

 savait qu'il ramenait en réalité l'intégration de (i) à deux opérations suc- 

 cessives: 1° formation effective d'un système S ; 2** intégration de ce sys- 

 tème linéaire. Il savait que la première de ces opérations dépend d'une équa- 

 tion différentielle ordinaire du deuxième ordre (équivalente en général à 

 la proposée) qu'il n'avait aucun moyen d'intégrer. Et, sachant cela, il a 

 écrit : « L'intégration de l'équation (i) est ainsi réduite à celle d'un sys- 

 » tème linéaire du quatrième ordre » (en réservant les calculs pour une 



équations S soient compatibles [j'entends: aient une solution générale de la forme (3)]; 

 2° pour que le quotient — de deux solutions arbitraires de S soit une intégrale pre- 



mière de (4)- 



(*) Et ne pouvait le montrer, puisque la chose n'est pas exacte (comme je l'ai établi 

 par la suite). 



