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soit vraiment absolue, et il pose la question suivante qui ne lui semble pas 

 tranchée par ma Note du 27 octobre : 



» Parmi les^ systèmes linéaires S qui correspondent à l'équation (i), en 

 existe-t-il un qui soit algébrique en x, y, z, ou dont les coefficients soient des 

 fonctions de x, y, z qui s'expriment à l'aide des transcendantes connues? 



» Je vais montrer brièvement que cette question se trouve résolue dans 

 le sens négatif '^d.v les résultats que j'ai publiés. Il est exact, en effet, qu'une 

 solution w(x,yy z) d'un système S [attaché à (i)] n'est pas, en général, 

 une intégrale première de (i), mais le quotient 



^^ _ yv,+ a,^. + a,^.+ a,^, . ^ constantes arbitraires) 



de deux solutions arbitraires de S est une telle intégrale et, d'autre part, 

 vérifie un certain système différentiel de forme connue, soit S', dont les 

 coefficients sont des combinaisons algébriques des coefficients de S et de 

 leurs dérivées. La question posée par M. Liouville équivaut donc à la sui- 

 vante : « Parmi les systèmes S' correspondant à l'équation (i), en existe-t-il 

 » dont les coefficients soient des fonctions algébriques ou des transcen- 

 » dantes connues en x,y,z^ » 



» Admettons, pour un instant, qu'un des systèmes S' attachés à l'équa- 

 tion (i) soit algébrique. L'équation (i) est alors réductible au sens de 

 M. Drach, et le théorème de M. Drach conduit, dans ce cas particulier, à ce 

 résultat singulièrement précis : il existe nécessairement — soit un système 

 linéaire (algébrique) du troisième ordre, dont la solution générale est de la 

 forme u(x, y, z) = n^Ut -{- a.,u.,-h a^, [f/,, //. désignant deux intégrales 

 premières de (i), et <?,, a.^, «3 des constantes], — soit un système linéaire, 

 homogène (algébrique), du second ordre qui donne une intégrale première 

 de (1) par le quotient de deux de ses solutions. 



» La même conclusion subsiste dans l'hypothèse où les coefficients 

 d'un des systèmes S' sont définis par des conditions différentielles telles que 

 leur solution générale ne dépende que d'un nombre fini de constantes. 

 C'est ce qui se présenterait notamment si les coefficients d'un système S' 

 étaient des combinaisons de transcendantes classiques en x,y, z. 



» Comme l'équation (i) est irréductible au sens de M. Drach, aucune des 

 hypothèses précédentes n'est admissible. L'équation linéaire du quatrième 

 • ordre que M. Liouville pensait, le i^'" septembre, construire effectivement 

 dans une Communication prochaine est, en réalité, impossible à former. 



» Mais je vais plus loin, comme le dit avec raison M. Liouville. Non 



