SÉANCE DU 8 DÉCEMBRE 1902. Io45 



le plan est une surface doublement convexe et, en outre, est une surface 

 double; 



y> 1^ Deux lignes droites qui ont un point commun en ont toujours un 

 second, et alors le plan est une surface à simple convexité. 



w Mais il est évident que ces propriétés sont projectives et par suite 

 indépendantes de toute idée de distance. On doit donc les rencontrer 

 également, par exemple, dans la conception euclidienne. 



M En effet, dans ce cas, si nous faisons mouvoir un point P sur une 

 droite D, dans un même sens, lorsque ce point franchit le point à l'infini 

 sur la droite, la droite OP, joignant ce point à un point fixe O exlérieur à la 

 droite, coïncide avec la parallèle MN mené à la droite D parle point O. 



» La continuité exige que le segment OP, qui était compris entre le 

 point O et la droite D, passe de l'autre côté de la parallèle MN, de sorte 

 que ce segment reste infini, lorsque le point P continue son mouvement 

 vers sa position verticale. 



» Un point de OP passe ainsi d'un côté à l'autre de la droite D sans fran- 

 chir celte droite, et, comme l'on peut supposer que ce point reste aussi 

 voisin que l'on voudra de la droite, on doit conclure de là que le plan est 

 une surface double et à plus juste raison doublement convexe. 



» Comme l'idée de l'infini, tout comme l'idée parente de l'infiniment 

 petit, ne constitue qu'un procédé d'analyse ne correspondant directement 

 à aucune réalité géométrique, la conclusion doit être simplement que les 

 deux conceptions envisagées s'accordent également avec les propriétés 

 géométriques à distance finie. 



)) Dans la seconde de ces conceptions, les points à l'infini de l'espace, 

 c'est-à-dire les points inaccessibles au moyen d'un déplacement euclidien, 

 forment non plus un plan, mais une région à trois dimensions, dans 

 laquelle tout point à distance finie a son correspondant par lequel passent 

 toutes les droites passant par le premier. Les deux régions sont séparées 

 par le plan de l'infini euclidien. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une formule sommatoire dans la théorie des 

 fonctions à deux variables. Note de M. Marti.v Krausk, présentée par 

 M. Appel l. 



« L Soit /(^j y) une fonction entière algébrique 



( 1 ) /(^i y) = ^^drs^' j% '' -•- S = ^^- 



