Io46 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» On peut donner à l'expression 



(2) F (^, y) =/(a; -h,y-/c) -/(x - h, y) ~ /{x, y-k) +/(a?, y) 

 la forme suivante : 



n = in 

 n = l 



» D'une façon analogue on peut développer les premiers, deuxièmes, etc. 

 quotients différentiels d'après les puissances de h et k, d'oîi 



H = l 



n^^m — 1 



^F_ ^ (-irr d_ (jdf jdfy j. d'^^\f _,„ç^t!/| 



Id^- 2d n\ l dy y dx'^^dy] dx- dy ^ ôy'^^' y 



n =1 

 1 n = m — 2 



(4; ( ^ — Zà '~^iT-l dx^- \ àx ^ dy) dx--^' "^ dx^- dy'' j' 



n = l 



')xdy ^ «! Vàxdy\ dx dy J dx"^^ dy dx dy''^^ ] 



n = ï 

 n = m — 2 



à'^ _ V (-i)'T il [Là/ . .à/y z» ^"-^V ..^"+V1 



^-2- «! [ ^j-^ V d^"^ (^j; dx^dy^' ^ dy"-^^y 



n = 1 



» Définissons les nombres de BernouUi par l'équation 



o , 



dv-F 



puis multiplions les expressions (4) et, en général, l'expression de ^^^^ ^^_v > 

 successivement par 



I, —hji, h^k, 7^^2/i% 7^26;M, ^<^2^' 



et faisons la somme des produits obtenus. Alors, à droite, il subsistera le 



seul terme hk , , ? et nous obtiendrons la formule 



d.r dy 



J^ f^j' ^ /i ! Y ^-^ ^.,>'' 



n-d 



