SÉANCE DU 8 DÉCEMBRE 1902. Io47 



dans laquelle il faudra développer l'expression 



(«'i-^-'''|:)'"' 



d'après les règles ordinaires et, après cela, écrire, à la place des puissances 



et des prodints de y- et -j-, les quotients diflPérentiels correspondants, et, 



à la place de b^resp. b'^', les grandeurs b^ resp. b^. 



» Dans cette formule (5) nous écrirons, en place de x el de y, x ■+- rh 

 et y + sk, et ferons rresp. s prendre successivement les valeurs 1,2, . ., p, 

 resp. I, 2, ..., q. On additionnera toutes les formules correspondantes ; 

 alors oti obtiendra à gauche la somme 



o 



r — p s — q 



fj^ ^ à'fi^v + f'h, y -+- sk) 



2^ ^ dx ôy 



» Pour être à même de simplifier le côté droit, nous introduirons la 

 fonction 



j F,(^-,j)= f{x-^ph,y^qk)-f{x+ph,y) 



(6) 



et nous arriverons à la relation 



r= p s = il n:=tn 



r=l 5=1 n=0 



» En appliquant cette formule au cas spécial où f{oc,y) est égal 

 à (;r + 7)"^^ puis, donnant à £c et j les valeurs spéciales x-= y — o, on 

 obtient la somme que M. Appell traite, dans une Note qui paraîtra sous 

 peu, dans X Archiv der Mathematik und Physik et qui m'a amené à établir la 

 formule (7). 



» II. Comprend-on ^ous f{x,y) une fonction quelconque, la somme 



hh y y à^fi^ + rh, y-hsk) 

 JU^mk dx dy 



peut être poursuivie d'après la même méthode. Ce qui différencie, dans 

 ce cas, les formules (3), (5), (7) des formules données jusqu'à présent, 

 c'est qu'un reste s'y produit à droite. Dans l'équation (3), celui-ci a la 



