SÉANCE DU 22 DÉCEMBRE 1902. I I 55 



Cinq Mémoires ont été présentés au concours. 



L'auteur du Mémoire n° 1, portant pour devise Araok hepred, aborde 

 l'étude des systèmes d'équations aux dérivées partielles d'une façon ori- 

 ginale. Considérons une fonction dépendant de n variables indépendantes 

 et d'une infinité de paramètres arbitraires. Il pourra se faire que cette 

 fonction satisfasse à un système d'équations aux dérivées partielles indé- 

 pendantes de ces paramètres et que l'on obtiendra par l'élimination de ces 

 paramètres. Réciproquement, l'intégrale générale d'un pareil système se 

 présentera sous la même forme et dépendra d'une infinité de constantes 

 arbitraires qui seront, par exemple, les valeurs initiales de certaines des 

 dérivées dites fondamentales. Soient Ui l'une de ces dérivées et x^ l'une 

 des variables indépendantes; prenons pour valeurs initiales aj/^ = ^'^ et 

 soit u] la valeur de m, pour 0?^ = oc\. Alors z et, par conséquent, les Ui seront 

 des fonctions des x,^, des x\ et des u\ : 



Si l'on change x\ en x\ 4- h^ et u. en ^i{x^ 4- h, x\ 11° ) ~ u\ il est clair 

 que l'on aura une transformation qui conservera chacune des intégrales 

 du système; l'ensemble de ces transformations forme un groupe que 

 l'auteur appelle G. Il en forme les transformations infinitésimales et il en 

 étudie les invariants qui sont en nombre infini. Ce n'est pas le seul groupe 

 qu'il considère; il envisage le groupe général R qui, portant sur les x^ et 

 les w", transforme les intégrales les unes dans les autres, et le groupe de 

 Darboux, qui transforme également les intégrales les unes dans les autres, 

 mais en conservant les variables indépendantes. Les rapports de ces divers 

 groupes sont analysés, mais pour en faire comprendre l'intérêt nous 

 devons parler d'une autre notion. Considérons une ou plusieurs fonctions 

 (!^{x, u) dépendant des variables indépendantes x et d'un nombre fini de 

 dérivées fondamentales u. En général, ce domaine de fonctions présentera 

 la même généralité que le domaine proposé lui-même, c'est-à-dire que le 

 domaine des m, de sorte que la connaissance des fondions ^{x, u) pour 

 toutes les valeurs de x entraînera celle de tous les u. Il peut arriver cepen- 

 dant qu'il n'en soit pas ainsi, et alors le système proposé d'équations aux 

 dérivées partielles est réductible. Or il se trouve que l'existence d'un pareil 

 domaine de fonctions ç, entraînant la réductibilité des équations aux 

 dérivées partielles, est liée à celle d'un sous-groupe du groupe de Darboux, 



