II 56 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



de telle sorte qu'il n'y a pas de pareil domaine sans sous-groupe. La réci- 

 proque n'est malheureusement pas vraie. 



Jusque-là, l'auteur était resté dans ces régions où l'on perd en précision 

 ce qu'on gagne en généralité. Il se restreint ensuite aux fonctions de deux 

 variables x ety et aux systèiues d'équations linéaires. A un pareil système 

 doit correspondre une infinité de fonctions intégrales dépendant d'une 

 infinité de constantes «,; soit 



s = laïUi. 



Les ai sont les valeurs des dérivées fondamentales pour x = Xo,y =yo; 

 les M^ sont donc des fonctions de ^,j,^o et j^. Le choix des dérivées fonda- 

 mentales peut d'ailleurs être fait de façon que les m^- se répartissent en suites 

 ascendantes, et que chacune d'elles soit la dérivée par rapport à oc^ de celle 

 qui vient après elle dans la même suite. 



L'auteur cherche ensuite si parmi les intégrales il y en a qui corres- 

 pondent à un sous-groupe du groupe deDarbouxou à un sous-groupe de K 

 et dont la présence, par conséquent, puisse faire espérer que le système pro- 

 posé est réductible. Soit U,j une pareille intégrale s'annulant pour x = Xq, 

 y = jç^, ainsi que ses dérivées des n — î premiers ordres. 



. , dU,, , dU,i •• 1 t -- I. • 



Alors, -^ et -r-^ appartiendront au même sous-groupe, et, si ce sous- 



cIcCq cLy ^ 



groupe est de première classe, pour employer la terminologie de l'auteur, 

 on aura 



et / Q CtîX/ A CCoC Q CtJi-Q 



où nous supposons 



^ dxQ 



Or, il arrive que le premier coefficient 7^^ ^st donné par une équation 

 algébrique tout à fait analogue à V équation déterminante de Fuchs; cette 

 équation peut en même temps servir à définir les caractéristiques de 

 Monge. 



Toute racine simple de cette équation nous donnera ainsi un sous-groupe 

 de première classe; malheureusement, nous avons vu que l'existence d'un 

 sous-groupe est une condition nécessaire, mais non suffisante de la réduc- 

 tibilité. 



Les intégrales U^ forment alors ce que l'auteur appelle un cycle de 

 première classe ; k chaque racine simple de l'équation en 1^, ou à chaque 



