SÉANCE DU 22 DÉCEMBRE 1902. IlSg 



de la théorie des groupes. Une partie étendue du Mémoire est consacrée à 

 un problème au sujet duquel l'illustre géomètre norvégien avait déjà 

 développé quelques idées générales. Quelle est la nature des intégrations 

 auxquelles on sera ramené pour résoudre un système différentiel admettant 

 un groupe continu G de transformations et qui est le plus général parmi 

 ceux qui satisfont à cette condition (système non spécial)? L'auteur montre 

 que le problème peut toujours se décomposer en deux : i" intégration d'un 

 système auxiliaire ne présentant, au point de vue de la théorie des groupes, 

 aucune particularité; i"" intégration d'un système automorphe, c'est-à-dire 

 d'un système dont la solution générale se déduit d'une solution particu- 

 lière quelconque au moyen de la transformation générale de G. En der- 

 nière analyse, on doit trouver un représentant de chaque type de groupes 

 primitifs simples, et discuter l'intégration des systèmes aulomorphes ayant 

 pour groupes associés les divers groupes types obtenus. Si maintenant on 

 passe à des systèmes spéciaux, on doit se demander quelles sont les simpli- 

 fications que peut présenter l'intégration d'un système automorphe particu- 

 lier. On est alors naturellement conduit à chercher à établir, pour de tels 

 systèmes, une théorie analogue à la théorie des équations algébriques dues 

 à Galois; ici, en effet, le domaine de rationalité dans lequel on veut se 

 mouvoir joue un rôle essentiel, et c'est un point de vue laissé entièrement 

 de côté par Sophus Lie. 



Avant de s'occuper des équations aux dérivées partielles, l'auteur du 

 Mémoire n° 5 revient d'abord longuement sur la théorie même de Galois 

 relative aux équations algébriques; la notion de système automorphe lui 

 parait jeter une lumière nouvelle sur la théorie de Galois, en mettant en 

 évidence le lien qui unit le point de vue de l'invariance formelle et celui 

 de l'invariance numérique. Etant donnée une équation algébrique 

 d'ordre n, que l'on regarde comme un système (S) de n équations entre 

 les racines, quel parti peut-on tirer de la connaissance de certaines autres 

 relations (A) entre ces racines, en supposant que l'on reste dans un 

 domaine déterminé de rationalité? La discussion de cette question amène 

 à la considération d'un système de même nature que le système (S, A). 

 mais automorphe. La théorie de Galois se présente alors sous la forme 

 suivante : il existe un système automorphe rationnel, tel que tout sys- 

 tème (S, A) également rationnel admet toutes les solutions du premier dès 

 qu'il en admet une; le groupe de ce système automorphe est le groupe de 

 Galois. 



Ceci va s'étendre aux équations linéaires et homogènes aux dérivées 



