Il6o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



partielles à n -h i variables indépendantes ^ ?,,...,/„. On la considérera 

 comme un système aiitomorphe (S) de /^ équations entre n fonctions indé- 

 pendantes a^,, ^2. "-y ^n (le groupe de ce système automorphe étant le 

 groupe ponctuel général); pour simplifier, nous supposons que le domaine 

 de rationalité est le domaine naturel . La question fondamentale, pour notre 

 auteur, est de savoir quel parti l'on peut tirer, pour l'intégration de (S), de 

 la connaissance de certaines relations (A), entre les fonctions, leurs déri- 

 vées et les variables indépendantes qui sont satisfaites pour quelque solu- 

 tion de (S). Il est ainsi conduit à la considération d'une série de systèmes 

 automorphes dont les groupes associés sont du même type, ces groupes 

 étant en général infinis. On peut d'ailleurs déterminer un système auto- 

 morphe de la série précédente, de telle sorte que ce système admette une 

 solution donnée de (S), ce qui n'exigera que des opérations rationnelles, 

 si les valeurs des £p, pour une valeur particulière t =:t^ de t, se réduisent à 

 des fonctions rationnelles de, t^,t^, . . ., f„ et, en particulier, a t^, t^, . . ., ?„, 

 ce que l'auteur appelle la solution principale c^. Après ces préliminaires, il 

 est possible de discuter et de préciser la théorie esquissée par M. Drach, 

 pour le cas où l'équation donnée est spéciale, c'est-à-dire où il existe 

 quelque système de relations (A) rationnelles par rapport aux t, aux ^ et 

 leurs dérivées, qui soit compatible avec (S). L'auteur montre qu'on peut 

 se limiter aux systèmes (S, A) admettant comme solution une même solu- 

 tion principale g^ de (S) et, parmi ceux-ci, à ceux qui sont automorphes. 

 On établit ensuite que, parmi ces derniers, il y en a un dont tous les autres 

 admettent les solutions; à ce système est associé un groupe G, gui est le 

 groupe de rationalité de V équation proposée. Le groupe associé à l'un quel- 

 conque des autres systèmes contient G : c'est un théorème analogue au 

 théorème célèbre de Galois. Le groupe G est relatif à la solution princi- 

 pale (7(,. Le point qui, pour Fauteur, constitue une différence essentielle 

 entre la solution principale n^ (ou celles qui s'en déduisent par transfor- 

 mations rationnelles) et les autres est que, pour une solution résultant d'une 

 transformation T que nous pouvons appeler Tir^, il n'existe pas, en général, 

 de système rationnel admettant seulement pour solution Tcr^ et ses trans- 

 formées par les transformations du groupe T~'GT. L'auteur attache une 

 grande importance à la considération des solutions principales {ou leurs 

 transformées rationnelles) et écrit même que la théorie peut se faire seule- 

 ment avec ces solutions. On peut émettre quelque doute à ce sujet, et !a 

 théorie pourrait probablement être présentée d'une manière plus large ; la 

 notion de groupe de rationalité de l'équation ne s'en trouverait d'ailleurs 



