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MÉCANIQUE. — Des conditions nécessaÎT es pour qu un fluide soit en équilibre 



stable. Note de M. P. Duhem. 



« Les méthodes imaginées par M. Liapounorf et par M. Hadamard, et 

 appliquées par ces géomètres à des systèmes qui dépendent d'un nombre 

 limité de variables, peuvent s'étendre à certains systèmes fluides et indi- 

 quer que certaines conditions sont indispensables à la stabilité de ces 

 svstèmes. 



» Comme exemple, nous traiterons ici le cas d'un fluide homogène et 

 incompressible, dont les éléments sont soumis à des forces qui dérivent 

 d'une fonction potentielle V et dont la surface terminale So est soumise à 



une pression uniforme et constante. 



. âS 

 » Soit n la normale à la surface Sq, vers l'intérieur du fluide. Si ^ 



n'est négatif en aucun point de la surface S^ et est positif en tout point d'une 

 aire d'étendue finie appartenant à cette surface, r équilibre du fluide ne peut 

 être stable. 



» Prenons le fluide en équiUbre et, sans déranger aucun des points 

 matériels qui le forment, imprimons à ces points des vitesses initiales. 

 A l'instant t, le point matériel dont les coordonnées, en l'état d'équilibre, 

 étaient œ, y, z a pour coordonnées 



X -^ a(^x,y,z,t), y -^ b{x,y,z,t), z + c{x,y, z, t). 



» Si l'équilibre du système était stable, on pourrait limiter supérieure- 

 ment les vitesses initiales de telle sorte que l'on ait, quels que soient x, 



(i) \a\<k, \b\<:k, |6-|<A, 



A étant une constante positive arbitrairement choisie d'avance. 



» D'autre part, la théorie des petits mouvements des fluides incompres- 

 sibles nous enseigne que, si Ane surpasse pas une certaine valeur, on peut 

 écrire 



(2) a=-g(i+>A), è = -0(i + p,B), c = -^(. + vC), 

 "ky [;., V étant trois fonctions de x, y^ z, t dont la valeur absolue ne surpasse 



