i^^I2 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» Considérons l'intégrale / p^(^ndcc de ma Note citée. On aura, pour 

 chaque position de l'intervalle (a, p) à l'intérieur de (a, [3o) =âp7» 



2 étant un nombre donné, à l'avance. On peut démontrer que la valeur 

 moyenne 9,, (E) varie d'une façon continue de <p„(^, ) à ^«(Ha), lorsque le 

 segment a[i se déplace de ap à p^^ suivant l'axe des ^, mais nous ne pouvons 

 pas affirmer qu'il en sera de même du point ^ et quil passera par tous les 

 points du segment Itl^. C'est là l'assertion inexacte de ma Note du 17 no- 

 vembre 1902. Mais on peut affirmer qu'il existe, en général, une infinité 

 de points l à l'intérieur de x^^ tels qu'on a 



\9n(l)\<^, 



et cela quelle que soit la position du segment a^a et quel que petit qu'il 

 soit. 



» On en déduit le théorème suivant, en posant, pour plus de simplicité, 

 p(x) = i : 



» // existe, en général, une infinité de points dans tout intervalle c, si petit 

 qu'il soit, situé à r intérieur de l'interçalle donné (a, b), où la série de Lagrange 

 {Fourier) 



co 



/,\ V" A • k'K{œ — a) "^ C /•/ \ • k-!z(œ — a) , 



k=l 



converge versf{x), si cette fonction reste continue dans l'intervalle («, b). 



M Posons, pour plus de simplicité, a = o, b ^=t.. Soit x un point quel- 

 conque dans l'intervalle (o, x). Prenons l'intervalle {x, x -\- ^) et dési- 

 gnons par ^ le point intérieur à cet intervalle, où la série (i) converge. 

 Considérons les sommes 



n n 



S«'(^)=2AAsin>î;^.e-^\ S\l\x) =^kj,s\nkx .e''^'^, ^>o. 



*=1 k=i 



