SÉANCE DU 29 DÉCEMBRE 1902. 3ll3 



» On trouve, en choisissant convenablement le nombre ^, 



n 



» D'autre part, en choisissant n = v assez grand, on aura 



(4) l/(ï)-S;,"(ï)|<e. 

 » Les nombres ^ et n ainsi fixés, posons 



£ or 



^ v2(v + i) 



» On aura 



(5) lS-(0 -S„(^)|<3, 



(^) |s;;>(^)-s,(a;)|<£. 



)) Les inégalités (2), (3), (4) et (5) donnent 



l/(x)-s;;'(a;)|<4e, 



ce qui exprime le théorème de Weierstrass-Picard. En tenant compte de 

 l'inégalité (6), on trouve encore 



|/(^)-S„(^)|<5e. 



On peut donc toujours construire une suite finie S;j(a?) de Fourier telle que 

 la fonction continue f(^x^ puisse être représentée en tous les points de l'inter- 

 valle donné par S^^x) o.vec l'approximation donnée à V avance. Cest précisé- 

 ment le théorème énoncé à la fin de ma Note du 1 7 novembre 1 902 . 



)) Si J\x) admet une dérivée continue, le point l, varie, en effet, d'une 

 manière continue, lorsque le segment a[i se déplace suivant l'axe des x. 

 Dans ce cas, la série de Fourier converge uniformément en tous les points 

 de l'intervalle donné. 



» Il importe de remarquer que la méthode indiquée est très générale : 

 qWq s' applique plus spécialement aux séries trigonométriques, mais aussi aux 

 cas beaucoup plus généraux et, en particulier, aux séries procédant suivant 

 les polynômes de Tchébiche(f\ » 



