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son développement de Taylor en ce point, et désignons d'autre part, avec 

 M. Mittag^-Leffler, par A Tétoile principale relative aux constantes a et 

 par FA(ic) la branche correspondante de F(£c). On peut se proposer de 

 trouver une fonction 9(5, a), dépendant d'un paramètre ol et vérifiant la 



condition lim | cp(/i, a.)]" = o, telle que, a. tendant vers zéro, la fonction entière 



(1) ao<p(o, a)-h«,<p(i,a)^-h...-f- a„(ij)(n, cc)x'^ -+-. . . 



tende uniformément vers ¥A(œ) dans tout domaine intérieur à A. 



» On sait, d'après une remarque due à M. Borel, qu'il suffit de déter- 

 miner la fonction 9(2, a,) de telle sorte que l'égalité 



00 



(2) lim^ ?(^. a)^'^= — ^ 







ait lieu uniformément dans tout domaine fini T n'ayant aucun point 



commun avec le segment 4- i hoc de l'axe réel. Or, pour résoudre 



ce dernier problème, on est conduit tout naturellement à faire usage de la 

 théorie des résidus de Cauchy. 



» 2. Considérant d'abord un cas particulier, nous montrerons que, 

 a tendant vers zéro par des valeurs positives, on a uniformément, dans 

 tout domaine tel que T, 







Le théorème de Cauchy permet d'écrire 



(''0 hjjï^^ ^ ^^ = 2 (^) ' 



le contour ai. étant par exemple un rectangle aux côtés parallèles aux axes 

 des coordonnées, symétrique par rapport à l'axe réel, de hauteur 2/1, et 



dont les côtés verticaux passent respectivement par les points z = - et 



I 



z = V -\ 



2 



» Posons z = ^ -h it et œ = re^^'^'^^\ de sorte que 9 désigne l'angle formé 



par le rayon vecteur du point x avec l'axe réel négatif; on trouve 



,r\ g~'^''" ^^ I r^ /aarctang;^-?') 





