SÉANCE DU 59 DÉCEMBRE IfjOK l3iy 



solides. Il paraît dès lors nécessaire, si l'on désire étendre, d'une manière 

 quelque peu systématique, les méthodes de la Statique graphique à l'étude 

 des systèmes de trois dimensions, de rechercher un mode de représen- 

 tation plane de l'espace approprié à la nature spéciale des figures réglées 

 et qui, avant tonte autre chose, respecte le caractère dualistique que pré- 

 sente la ligne droite dans l'espace. 



)) A cet effet, remarquons que l'ensemble d'une droite^ et d'un point g-', 

 quelconques l'un et l'autre dans le plan n où l'on se propose de représenter 

 j'espace, constitue le plus simple des éléments dualistiques dans la géo 

 métrie du plan et susceptible, en outre, puisqu'il dépend de quatre para- 

 mètres, de représenter une droite quelconque de l'espace. Si donc on 

 convient de désigner par la notation (g, g') un pareil élément et par (^) 

 la droite de l'espace qu'il représente, il suffira, pour atteindre le but pro- 

 posé, de déterminer la plus simple de toutes les correspondances linéaires 

 qu'il est possible d'établir entre les éléments {g, g') et les droites (j^'). I^es 

 considérations suivantes permettent de résoudre ce problème. 



i) Lorsque la droite g de Tensemble quelconque (g, g') demeure fixe, 

 le point ^' étant, au contraire, variable, la droite correspondante engendre 

 dans l'espace une congruence dont l'ordre sera désigné par m, et la classe, 

 parrt; de même, g' étant supposé fixe, et g variable, (g) engendre une 

 deuxième congruence d'ordre m' et de classe n'. A tout élément (g, g') 

 correspondent ainsi deux congruences ayant en commun la seule droite (g), 

 puisque la correspondance cherchée est assujettie à la condition d'être 

 linéaire. On aura donc 



mm' H- nn' = i , 



et cette relation ne peut être satisfaite que par Tune ou l'autre des solu- 

 tions 



(d) n=±n'=^i, mm'===o; 



(b) m==fn'r==ï, nn'==o. 



» Considérant tout d'abord la solution (a) et supposant, pour simplifier 

 le mode de représentation et par raison de symétrie, que l'on ait séparé- 

 ment m = m'=o, on démontre immédiatement que la correspondance 

 cherchée s'obtient en établissant deux corrélations homographiques quel- 

 conques, d'une part entre les plans d'une première gerbe de centre quel- 

 conque S et les droites g de n* et, d'autre part, entre les points g' de n et 

 les plans d'une deuxième gerbe dont le centre S', également quelconque, 



