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doit, cependant, être supposé différent de S. L'élément représentatif d'une 

 droite {g) est alors constitué par la droite et le point de II qui correspon- 

 dent aux plans des deux gerbes qui passent par {g); de cette manière à 

 toute droite de l'espace correspond bien, en général, un élément repré- 

 sentatif unique et réciproquement. 



» Le mode de représentation ainsi obtenu est susceptible d'une première 

 simplification fondamentale. On l'obtient en assujettissant les deux corré- 

 lations homographiques à des relations telles que la condition de rencontre 

 de deux droites définies par leurs éléments représentatifs, condition dont 

 on connaît le rôle essentiel en géométrie réglée, se présente sous la forme 

 la plus simple. Sans entrer dans le détail d'une discussion très élémentaire, 

 il suffit d'indiquer ici qu'on obtient ce résultat lorsque la droite et le point 

 de n qui correspondent à un même plan quelconque du faisceau commun 

 aux deux gerbes sont unis. Si l'on désigne alors par O le point commun 

 à toutes les droites qui correspondent aux plans de ce faisceau, par E la 

 droite engendrée par les points qui correspondent à ces mêmes plans ; si 

 l'on convient, de plus, pour faciliter le langage, d'appeler ligne de fuite 

 d'un point de n la droite qui joint ce point à O et point défaite d'une droite 

 de n son point de rencontre avec E, on peut alors énoncer la proposition 

 fondamentale qui suit : 



» Pour que deux droites définies par leurs éléments représentatifs (g^ , g\ ) 

 ^^ (^2 5 ë'S)se coupent, il faut et il suffit que la ligne de fuite du point d'inter- 

 section de g^ et de g^ passe par le point de fuite de la droite qui joint g\ et g'^. 



)) On démontre encore facilement les propriétés suivantes qui mettent 

 en évidence un nouvel élément géométrique dont le rôle est essentiel : 



» Lorsque les deux éléments représentatifs d'une même droite sont unis, 

 cette droite appartient à un complexe linéaire que nous appellerons le complexe 

 directeur. Il faut toutefois excepter de cet énoncé le cas où la droite repré- 

 sentative passe par O, le point représentatif étant, en outre, situé sur E. 

 Les droites correspondantes de l'espace, qui sont d'ailleurs incomplètement 

 représentées, forment un complexe linéaire spécial dont le rôle est secon- 

 daire. 



» Lorsque deux droites de l'espace sont conjuguées par rapport au com- 

 plexe directeur, leur s points représentatifs sont alignés sur O, leurs droites re- 

 présentatives se coupent sur E et, enfin, le point représentatif de l'une quel- 

 conque d'entre elfes et la droite représentative de l'autre sont unis. 



» Considérant, à présent, toutes les droites qui passent par un même 

 point (P) de l'espace, on voit que leurs droites représentatives passent 



