ACADEMIE DES SCIENCES. 



» On suppose que œ=y = ...^t = o est un point double de cette 

 substitution et que, dans le voisinage de ces valeurs, on peut écrire 



y = by -hQ.,(x,y,...,t), 



t =lt +q„,{x,y,...,t). 



les Q étant des séries entières, commençant par des termes au moins 

 du second degré; il est admis de plus que 



et enfin, on n'a pas entre deux quelconques des coefficients a, A, ..., /, 

 soit par exemple a et A, de relations de la forme 



a^z=h ou b'' = a (A et /• entiers positifs). 



» 2. Ceci posé, on peut trouver des fonctions de m lettres u, v, . . . , w^ 



/(u,v,...,w), ©(m,ç-, ...,(v), ..., ^|/(m, r, ...,(T-) 



holomorphes dans le voisinage de u = v = ...== w = o, méromorphes 

 dans les plans de ces variables complexes, et satisfaisant aux équations 

 fonctionnelles 



/ /(au, bv, ..., Iw) = R, (/, cp, . . . , '^) 



/ N j <p(«w, bç, ..., Iw) = Ra (/, 9, . . . , <!'), 



' ']j{au, bv, ..., liv) = R„,(/, o, . . . , J')- 



» La démonstration de ce résultat peut se faire de différentes manières, 

 soit par le calcul direct des coefficients des développements autour de 

 l'origine, soit en procédant par approximations successives, comme je l'ai 

 fait dans le cas beaucoup plus difficile où se présentent à l'origine des 

 singularités essentielles (Acla mathematica, t. XVIII et XXIJI). 



» On part de la remarque que l'équation fonctionnelle 



f{au, bv, . .., hv) — af{u, v, ...,w) + V{ii,v, ..., w) 



où P(w, V, . . ., w) est une fonction holomorphe donnée autour de l'origine, 

 commençant par des termes du second degré, détermine complètement y, 

 si l'on suppose que le coefficient de la première puissance de m a une valeur 



