SÉANCE DU 4 JUILLET 1904. 7 



donnée (soit l'unité). Il est alors facile de montrer que les approximations 

 successives 



(p„(aM, bv Iw) = b o„(w, c, . . ., w) + Qo [/„_, , cp„_, , . . . , ^«_, ], 



• » 



^„(aM, h\ ..., Iw) — l <I^„(f/, r, . . . , M^*) 4- Q„J/„_, , o,,^, , . . ., J^«-, ], 

 où l'on part de 



et où, dans /„, «p,^ !„, les termes du premier degré sont respective- 

 ment w, ^, . . ., Wy convergent uniformément vers une limite. On obtient 

 ainsi la solution des équalions (2), holomorphe autour de l'origine; on 

 fait enfin aisément, au moyen de ces équations fonctionnelles elles-mêmes, 

 le prolongement analytique des fonctions pour toutes valeurs de m, c, . . ., 

 Wy de manière à avoir des fonctions partout méromorphes. 



» 3. Le résultat précédent s'étend au cas où l'on aurait, au lieu des 

 m lettres indépendantes x, y, ...,;, ces m lettres liées par une relation algé- 

 brique admettant une transformation rationnelle en elle-même. Il suffira 

 de prendre le cas d'une courbe et celui d'une surface algébrique. 



» Soit une courbe algébrique 



F(^,j) = o 

 admettant la transformation rationnelle 



(3) 



/ = R,(.r,7). 



» Nous supposons que l'origine soit un point simple de la surface et un 

 point double de la transformation précédente. Alors, autour de l'origine, 

 les équations (3) se ramènent à l'unique équation 



3?'= ax H- Q, (a?), 



Q, ne renfermant pas de terme du premier degré, et nous faisons l'hypo- 

 thèse que \a\ est supérieur à un. Dans ces conditions l'analyse du para- 

 graphe précédent est applicable, et l'on a finalement, pour la courbe F, 



X—f{u), y— cp(m), 



/ et <p étant des fonctions méromorphes de u dans tout le plan, satisfaisant 



