3a ACADÉMIE DES SCIENCES. 



rations citées celles qui correspondent aux signes — , : , y/ , sin, et d'une 

 manière générale au signe /"(/,, /o, ...,/„) si/est, d'après la définition 

 précédente, représentable analytiquement. 



» Je dis qu'une fonction est définie analytiquement si elle est l'une des 

 racines d'un système d'équations formées en égalant à zéro des fonctions 

 de E portant sur les variables et les fonctions inconnues. Il est évident que 

 l'ensemble E, de ces fonctions contient E, il n'est pas évident que ces deux 

 ensembles soient identiques. 



)) Sans restreindre pratiquement le champ des applications, on peut se 

 borner à la considération des fonctions de E, ; mais, pour que cela soit 

 possible, il faut connaître une propriété, que l'on supposera vraie, de 

 toutes les fonctions que l'on considérera, qui appartienne à toutes les 

 fonctions de E, sans appartenir à toute fonction. 



» En précisant et complétant une indication donnée dans ma thèse, j'ai 

 obtenu une propriété caractéristique des fonctions deE,. Ces fonctions sont 

 les fonctions mesurahles B, c'est-à-dire celles pour lesquelles, quels que 

 soient a et h, l'ensemble E (a'^/^h) des points où la fonction satisfait 

 à l'inégalité indiquée appartient à la famille des ensembles mesurables par 

 les procédés de M. Borel, ensembles que j'ai nommés 77iesurahles B. Ces 

 ensembles s'obtiennent en effectuant, à partir d'intervalles ('), un nombre 

 fini ou dénombrable de fois les deux opérations O,, O^ qui fournissent la 

 partie commune et la somme d'une infinité dénombrable d'ensembles 

 donnés. 



» On peut donner pour ces ensembles Une classification tout à fait pa- 

 rallèle à celle que M. Baire a fait connaître pour certaines fonctions. I^es 

 ensembles fermés seront ceux de la classe o; puis, a étant un nombre fini 

 ou transfini de la première classe de nombres transfinis, les ensembles de 

 classe y. au plus s'obtiendront à partir des ensembles des classes inférieures 

 en effectuant d'abord O,, puis O2 et en passant aux complémentaires. 

 Quand on se borne à l'opération Oo on a ce que j'appelle les ensembles de 

 rang a au plus (-). 



(•) Un intervalle est l'ensemble des points (;r,, x^^ . . ., ^„) tels que Ton ait 



les a et les Ij étant des constantes. 



(-) Si a est fini ou transfini de la première espèce, il est inutile d'elïectuer l'opéra- 

 tion O, ; les ensemLdes de rang a sont alors de classe a — j . 



