SÉANCE DU 4 JUILLET 1904. 3l 



)) Voici maintenant des énoncés qui montrent le parallélisme des deux 

 classifications : 



» PouT^ qii une fonc lion f soit de classe x au plus, il faut et il suffit que tout 

 ^(a^f= ^) soit de classe a au plus. 



» Pour qu une fonction f soit de classe x au plus y il faut et il suffit que, quel 

 que soit le nombre positif z^ on puisse considérer le domaine où f est définie 

 comme la somme d'une infinité dénomhrahle d'ensembles de rang y. sur chacun 

 desquels l' oscillation de f ne surpasse pas t. 



» Comme conséquence de ces théorèmes et d'autres analogues, on voit 

 facilement que toute fonction définie analytiquement est exprimable analyti- 

 que7?ient, et même est l'une de celles auxquelles s'applique la classification 

 de M. Baire. 



» Les théorèmes précédents m'ont aussi permis de déduire la classe 

 d'une fonction de sa nature en certains points; à ce sujet je mécontenterai 

 d'indiquer que ces théorèmes m'ont conduit à la définition d'une propriété 

 que j'appelle la continuité (x) et qui se réduit à la continuité ordinaire 

 pour a = I. On a alors l'énoncé suivant, généralisation d'un théorème de 

 M. Baire : 



)) Pour qu'une fonction soit de classe a au plus, il faut et il suffit quelle 

 soit ponctuellement discontinue (a) sur tout ensemble parfait. 



» Les définitions des différentes classes de fonctions et d'ensembles ne 

 prouvent pas l'existence de ces classes; j'ai réussi à nommer des fonctions, 

 et par suite des ensembles, de toute classe. J'ai pu aussi nommer une fonc- 

 tion qui, n étant d'aucune classe, échappe à toute définition analytique. Une 

 telle fonction fait connaître des ensembles non mesurables B. Ceux de ces 

 ensembles que j'ai ainsi obtenus étaient mesurables par les procédés que 

 j'ai indiqués dans ma Thèse. 



» Bien que la classification des ensembles et des fonctions, dont toutes 

 les classes existent effectivement, je le répète, soit, à mon avis, de nature 

 à fournir une base solide pour la théorie des nombres transfinis, j'ajoute 

 que ces nombres transfinis n'interviennent pas dans les démonstrations si 

 l'on se borne à considérer les classes à indices finis. » 



