SÉANCE DU 4 JUILLET igo/j. 33 



0, est une solution de l'équation de Laplace relative au réseau N et la droite 

 qui joint les points R', S' de coordonnées 



/D/\ ^h àvi 6, ÔYi / . \ /„,^ 



(f*) "'-à^Hrr ^''-Arf^ = ., ....«) (S') 



du du 



engendre la congruence la plus générale harmonique à N et parallèle à RS. 



» Les droites RR', SS' se coupent en un point P de MiN^. Lorsque u varie 

 seul, les trajectoires des points S et S' sont respectivement tangentes auK 

 droites SR, S'R'; de même, quand (^ varie seul, les trajectoires des points R 

 et R' sont respectivement tangentes à RS et R'S'. La trajectoire du point P 

 est donc tangente à PR quand u varie seul, à PS quand (^ varie seul. De 

 plus, le système de courbes décrit par P est un réseau. Réciproquement, 

 un réseau quelconque P, conjugué à la congruence MN, coupe les plans 

 tangents aux réseaux M et N suivant deux congruences parallèles et harmo- 

 niques à ces réseaux. Il en résulte le théorème : 



)> On obtiendra tous les réseaux conjugués à la congruence MN eZ les tan- 

 gentes correspondantes, en joignant les foyers R ei R', S e^ S' de deux con- 

 gruences parallèles et harmoniques, respectivement aux réseaux parallèles M 

 et N. 



» Les formules (4) définissent 0, à une constante additive près a. A toute 

 solution de (f) correspondra donc une infinité de réseaux P, dont les 

 plans tangents se couperont suivant la droite RS. Soient P,, Po, P3, P^ 

 quatre de ces réseaux. Le rapport anharmonique (P,, P^, P3, P,) est égal 

 à celui des plans tangents aux réseaux P,, P^, P3, P, et, par suite, à celui 

 des points correspondants R,, R., R^, R, sur NR'. L'expression des coor- 

 données des points R,, . . . , R^ montre que leur rapport anharmonique est 

 égal â celui des valeurs de la constante a relatives à ces points. Il est donc 

 constant. On obtient ainsi une généralisation de la propriété signalée par 

 M. Guichard pour les réseaux parallèles conjugués à une congruence, à 

 savoir : 



)) Si les plans tangents à quatre réseaux conjugués à une congruence se 

 coupent constamment suivant une même droite, le rapport anharmonique des 

 points qui décrivent ces réseaux reste constant. 



» De la construction indiquée plus haut, il résulte qu'une solution de 

 l'équation (i) fait connaître une infinité de réseaux conjugués à la con- 

 gruence et que réciproquement à un réseau conjugué à MN correspond 

 une infinité de solutions de l'équation (i). Remarquons aussi que la con- 



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