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naissance d'un réseau N parallèle à M implique la connaissance d'un sys- 

 tème de solutions des équations (2). D'ailleurs, la résolution du système (2) 

 se ramène à la résolution de l'équation adjointe de (i), que l'on saura 

 résoudre complètement si l'on sait résoudre l'équation (i)(^ ). Nous retrou- 

 vons ainsi les théorèmes suivants, découverts par M. Darboux (■) : 



» La résolution d'une équation aux dérivées partielles de la forme (i) et la 

 détermination de tous les réseaux conjugués à l'une quelconque des congruences 

 conjuguées au réseau M, dont l'équation de Laplace est l'équation (i) sont 

 deux problèmes équivalents. 



» La résolution de l'équation de Laplace (1) relative au réseau M et la réso- 

 lution de V équation de Laplace relative à un réseau quelconque conjugué à une 

 congruence quelconque conjuguée au réseau M, sont deux problèmes équiva- 

 lents. 



» On trouve, pour les coordonnées de P, 



et, pour l'équation de Laplace qui s'y rattache, 



d-<y e,— /6 



/ , V } du dv 6, — h 6 



» Si donc on sait intégrer complètement (i), on saura intégrer complète- 

 ment (4) et réciproquement. Pour effectuer cette transformation des 

 équations (i), il suffira de connaître deux solutions x^, x^ de (i) et une 

 solution h — /de son adjointe. 



» Des réseaux P conjugués à MN on déduit toutes les congruences dé- 

 rivant MN et, par suite, tous les réseaux dérivés de P. D'autre part, si l'on 

 connaît toutes les solutions de l'équation (t), on en déduira tous les ré- 

 seaux ]j. dérivant M, enveloppes des plans G, G, de deux congruences 

 conjuguées à M; on connaîtra les réseaux conjugués à G,, par exemple, 

 et par suite toutes les congruences harmoniques au réseau ;x. Donc : 



» Si l'on sait intégrer l'équation (i), on saura intégrer les équations de 

 Laplace relatives à l'un quelconque des réseaux dérivés ou dérivants dun ré- 

 seau conjugué à la congruence MN. 



(*) Voir G. Darboux, Leçons sur la théorie des surfaces, t. II, p. 98. 

 (^) Voir G. Darboux, Leçons sur la théorie des surfaces, t. II, chap. X. 



