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meut linéaire. Écrivons que g- ds'- est celui d'une sphère fie rayon i; nous 

 trouvons 



(i) ^--R-^A,l<)g- = o, 



R étant la courbure totale et Ao le second paramètre différentiel relatif à ds'-. 

 Celte relation, ne contenant que des symboles invariants, est valable dans 

 tout système de coordonnées curvilignes. Ainsi la recherche des surfaces (*) 

 qui possèdent la propriété relative au j)roduit g"^ ds' revient exactement à 

 celle des surfaces qui vérifient la condition (i). 



)) Pour interj)réter ce résultat dans le cas particulier des surfaces iso- 

 thermiques, nous rappellerons une pro{)Osilion importante que M. Darboux 

 a fait connaîLte (^Comptes rendus, 29 mai 1899) et qui peut s'énoncer ainsi : 

 Pour qu une surface (S) soit isothermique., il faut et il suffît que ses sphères 

 harmoniques enveloppent , en même temps que la surface (S), une autre sur- 

 face (Z), dont les lignes de courbure correspondent à celles de (S), Cette 

 seconde nappe (1) n'est pas, en général, une surface isothermique, parce 

 que la correspondance entre (S) et (i) n'est pas géographique (correspon- 

 dance avec proportionnalité ties éléments linéaires). Il y a donc lieu de 

 j)Oser ce nouveau proldème : Trouver toutes les surfaces isothermiques telles 

 que la seconde nappe de V enveloppe de leurs sphères harmoniques soit aussi 

 une surface isothermique ou, ce qui revient au même, corresponde gèogra- 

 phiquement à la première. 



» Or, si l'on exprime, en s'aidant des résultats de M. Darboux {loc. cit.), 

 la condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi, quand la cor- 

 respondance entre les deux nappes ne se réduit pas à une inversion (hvpo- 

 thèse qui ne donne que les surfaces à courbure moyenne constante), on 

 ictrouve précisément notre condition (1). En conséquence, les surfaces 

 isothermiques qui possèdent la propriété relative au produit g'^ ds-, ou qui véri- 

 fient la condition (1), sont identiques aux surfaces isotheimiques telles que 

 leurs sphères harmoniques aient pour seconde nappe de leur enveloppe une autre 

 surface isothermique, sans que les deux nappes se correspondent par inversion. 



» Ayant transformé de la sorte le problème primitif, voici comment on 



(') L ensemble de ces surfaces se détermine aisémenl, a\ec quatre fonctions arbi- 

 traires, dont les arguments sont les paramètres des lignes de longueur nulle. On peut 

 ensuite reslreindre la généralité des formules^ de manière à séparer les suifaces iso- 

 hermiques. Cette solution analytique, indépendante des considérations du texte, en 

 conliruie absolument les conclusions. 



