ACADÉMIE DES SCIENCES. 



SÉANCE DU LUNDI 25 JUILLET 1904, 



PRÉSIDENCE DE M. MASCART. 



MEMOIRES ET COMMUNICATIONS 



DES MEMBRES ET DES CORRESPONDANTS DE L'ACADÉMIE. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une équation fonctionnelle. 

 Note de M. Emile Picard. 



« 1. Une équation fonctionnelle de forme très particulière, considérée 

 par Abel, a conduit les géomètres, il y a longtemps déjà, à étudier l'équa- 

 tion fonctionnelle plus générale 



(i) o(y) = f f{x)l'{x,y)rlx. 



"0 



» Dans cette équation ^{v) est une fonction donnée de y et P(a?, j^) est 

 une fonction donnée de x ei y; l'inconnue est la fonction /(x). 



» Dans un remarquable Mémoire, M. Volterra a fait une étude appro- 

 fondie de l'équation (f ) (Atti délia R. Ace. di Scienze di Torino, 1893-1 896), 

 et il a obtenu, sous des conditions très générales, la fonction cherchée /(x). 

 A peu près vers la même époque, M. Le Roux s'occupait de la même 

 équation dans les Annales de l'École Normale (3^ série, t. XII, 1895, p. 244)- 

 Sa méthode extrêmement simple consiste à procéder par approximations 

 successives; elle semble cependant conduire à un résultat moins général 

 que celui de M. Volterra, en ce que le champ où se trouve définie la fonction 

 cherchée f(x) est plus limitée, mais cela tient uniquement au mode de 

 démonstration de M. Le Roux. Il est aisé de voir que le résultat obtenu a la 

 même généralité que celui de M. Volterra. Ayant consacré cette année 

 quelques leçons à cette équation, j'ai présenté sous la forme suivante 

 la méthode de M. Le Roux, en introduisant dans l'équation un paramètre X 

 et développant suivant les puissances de >., ce qui dans le cas d'une relation 



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