246 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



linéaire par rapport à f{oo) [comme l'équation (i)] est une manière 

 d'opérer par approximations successives, 



)) 2. Au lieu de l'équation (r), j'envisage donc l'équation avec le para- 

 mètre constant \, 



o(y)= f f{x)^{x,x)dx^\ f f{x)[?{x,y)- ?{x,x)\dx, 



qui, pour 1=1, donne l'équation (i). Nous supposons que V{x,y) est 

 continue, quand ^ et j^ varient de o à « (« >• o), et que, de plus, dans cet 

 intervalle P (a?, a?) est différent de o. On se propose de mettre la fonction 

 cherchée /(^p) sous la forme d'une série ordonnée suivant les puissances 

 de 1, 



(2) /(x) =Mx) + >/. (.t) + . . . + l%(x) + . . . ; 



les fonctions yi(^) se déterminent immédiatement de proche en proche. 

 On a d'abord 



puis, en posant 



on a, d'une manière générale, 



/„(X) = - p(J^^.) j /n-^(ll)-{ll,x)fhl. 



» Soit M la valeur absolue maxima de/^^(x), a; étant compris entre o et a; 

 soit aussi, quand x et y varient dans le même intervalle, 



|P(.'r,^)|>B et \7:(x,y)\<:b; 



on démontrera de suite l'inégalité 



B / 1 .2. . .n 



» Il en résulte que ia série (2) est une fonction entière de 1 quand x reste 

 dan§ l'intervalle initial (o, a). On pept donc faire "X = i, et la série 



(3) f(x) =/,{x) +/,(^-) +. . .-+-/„(^) +. . . 



donne la solution de l'équation fonctionnelle (i), où il est, bien entendu. 



