SÉANCE DU 2.5 JUILLET 1904. 2^7 



supposé que la fonction ^(j') s'annule pour y = o. En fait, la série (3) est 

 la série considérée par M. Le Roux. 



» Ou sait que, sous les conditions admises, M. Volterra, dans le Mémoire 

 cité, a démontré que la solution de l'équation (i) était unique. 



» 3. Il n'y a aucune difficulté à traiter par la même méthode l'équation 

 précédente dans des cas plus étendus, envisagés aussi par M. Volterra. 



» Supposons, pour nous rapprocher du problème d'Abel, que l'on ait 



G(x,y) étant continue quand 00 el y vont de o à a, et G(x,x^ étant 

 différent de o dans l'intervalle (o, a). J'envisage alors l'équation 



» Bornons-nous, pour abréger, au cas le plus simple, où 9(0) = o. On 

 va encore développery sous la forme 



(4) /=y; + V, 4-... + )."./:.+•••' 



fo est déterminé par le problème même d'Abel, et l'on a 



et, en désignant par ^(x, y) une fonction facile à former, la relation de 

 récurrence a la forme 



» La démonstration de la convergence de la série (4) pour toute valeur 

 de \ est ici un peu plus longue, mais elle ne présente aucune difficulté en 

 utilisant quelques formules classiques sur les intégrales eulériennes. Nous 

 arrivons ainsi au même résultat que plus haut. 



» Dans son Mémoire, M. Volterra examine le cas plus difficile où 

 P(^, j) étant continu comme au n° 1, s'annule pour x =^ y =: o. Des cir- 

 constances très diverses peuvent se présenter; dans les cas où le problème 

 admet une seule solution, on peut utiliser des considérations analogues à 

 celles qui précèdent. 



