SÉANCE DU 25 JUILLET I904. 209 



» Nous poserons 



I Z-' o ;'- 



et nous obtiendrons les deux équations 



8 

 (0) a:■z^ = X, M 4- rt,a7 H-. . .. \ — — 2 -{ ^-5 



\ / 11-1 2(T'| 



8 



qui donnent toutes les intégrales ^( = - ) nulles à l'origine. 

 )) Entre 'k^ et \^, il existe la relaiion invariante 



I I 



+ ^ — I. 



>M 



» Sur cette relation se fonde la discussion suivante : 



» l. \^ et >2 complexes, R(a,)>> o, par suite R(X2) <C ^' ~~ O" ^^^^ qu'en 

 ce cas l'éqnation (3) donne pour z une infinité d'intégrales (dont une, 

 :5,(^). est holomorphe) passant par l'origine avec une tangente commune 

 et dépendant d'un paramètre arbitraire. Je constate que, lorsque le para- 

 mètre augmente indéfiniment, cet ensemble d'intégrales admet pour limite 

 l'intégrale holomorphe nulle à l'origine de V équation (4), soit z.^i^x^. J'ob- 

 tiens en outre ce résultat : toutes les branches d'' intégrales z qui se permutent 

 au voisinage de V origine peuvent être obtenues par des permutations ^ulour 

 de V origine elle-même. L'ensemble des déterminations de l'intégrale z(^x) 

 qui peuvent se permuter au voisinage de l'origine admettent comme points 

 limites uniques, pour x ^= x, lès deux points discrets z^ {x) et z.^{x). 



)) 2. \^ etl., complexes. R(l,)><o, R(lo)<o. — On a encore deux in- 

 tégrales holomorphes passant par l'origine et deux seulement, Zf (x) et 

 z.,(x), qui sont limites des branches de l'intégrale générale. 



» 3. 1, et 1-2 réels irrationnels, \^'^o, par suite X,<Co. — IjC théorème 

 d'après lequel, au voisinage de a? = o, toutes les branches d'une même in- 

 tégrale s'obtiennent par des permutations autour de l'origine, subsiste dans 

 ce cas. Les points en tiques et les déterminations de l'intégrale ^-{oc) conver- 

 gent, dans leurs plans respectifs, vers tous les points d'une courbe fermée 

 eîitourant l'origine et vers ces points seulement. Il résulte de là que l'équa- 



