26o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



lion (4) n'admet, en dehors de l'intégrale liolomorphe, aucune^intégrale 

 tendant vers o lorsque x tend vers o sur un chemin quelconque. 

 Mais elle a des intégrales présentant une infinité de points critiques au voi- 

 sinage de l'origine. 



)) 4. >., et 1., réels irrationnels, 1, <[ o, 'X2<C O- — I^a distribution des points 

 critiques et des déterminations de ^(a?) est la même que dans le cas précé- 

 dent. 



» 5. A, et 1., réels rationnels, 1,<^ o, 'Xo<C o. — Soit z^ une valeur initiale 

 voisine de o. Je démontre que si l'on tourne autour d'un nombre///u, assez 

 grand, de points critiques, on revient avec des valeurs s'éloignant peu à 

 à peu de o. Il en résulte que l'intégrale générale n'a qu'un nombre fini de 

 points critiques au voisinage de l'origine, qui est pour elle un point d'holo- 

 morphisme. Elle est représentable pour j? et z voisins de o par une relation 

 de la forme F(a7, ^)= C, où F est un développement convergent, C une 

 constante arbitraire. Deux intégrales seulement sont nulles à l'origine. 



M 6. \^ etl.^ réels rationnels, >^,^ o, par suite 'k.2<^o. — Ce cas se subdi- 

 vise en trois : 



» 1° If est entier et l'équation (3) a une infinité d'intégrales holomorphes 

 passant par l'origine (ce qui exige comme on sait qu'une certaine relation 

 algébrique entre les coefficients de l'équation soit satisfaite) (*). L'origine 

 est encore un point d' holomorphisme pour toutes les intégrales. Les intégrales 

 nulles à l'origine de (3) ont pour limite l'intégrale nulle de (4); 



» 2*^ \^ n'est pas entier. Ce cas se ramène au précédent par un change- 

 ment de variable x = x'p (y? entier) ; 



» 3*' \^ est entier et la relation algébrique mentionnée plus haut n'est pas 

 satisfaite. On sait que l'équation (3) possède alors une infinité d'intégrales 

 nulles développables suivant les puissances de x et de log.r. Dès lors, 

 l'équation (/\), pour laquelle \^ est réel, négatif et rationnel, a une infinité 

 d'intégrales tendant vers o lorsque x tend vers o sur certains chemins. 

 Nous retrouvons ainsi les circonstances qu'a signalées M. Dulac. Mais, au 

 lieu que dans la théorie de M. Duhic ces circonstances semblaient se pré- 

 senter d'une façon tout à fait générale pour a^ rationnel, elles nous appa- 

 raissent ici [du moins en ce qui concerne l'équation (2)] comme exception- 

 nelles et dues à la nature de l'équntioti (3). » 



C) Oi) sait toujours reconnaître très simplement si cette condition est satisfaite. 

 Ce cas a été étudié en particulier par M. Au tonne. 



