SÉANCE DU 1*^^ AOUT 1904. 35 



ANALYSE MATHÉMATIQUE, — Sur les zéros des fonctions entières d'ordre entier. 

 Note de M. Piep.re Boutroux, présentée par M. H. Poincaré. 



« MM. G. -H. Hardy et à A. Wiman ( ') ont récemment indiqué, indé- 

 pendamment l'un de l'autre, une très remarquable généralisation du théo- 

 rème de M. Picard sur les fonctions entières. M. Hardy s'est placé dans 

 des cas particuliers, dont il a fait une étude approfondie. M. Wiman a con- 

 sidéré des types généraux de fonctions, et il a démontré le théorème 

 suivant : 



» Soient G (^) une fonction entière d'ordre entier, g{z) une fonction d'ordre 

 inférieur. Je supposerai, pour fixer les idées, que l'ordre de G(^) soit égal 

 à son genre p. Admetlons que le module maxinuim de G(:r) soit comparable à 



Alors, si l'ordre du zéro de rang n, <:/„, de G(z) est supérieur à 

 [n(\ogny^'' . . .([o^^'hiYKf = u.( n), 



l'ordre du zéro de rang n, a[^, de G(^) H- g(z) est nécessairement égal à ;;.. 



» Les fonctions de M. Wiman sont formées sur le même type que celles 

 que j'ai considérées au paragraphe 31 (première Partie) de mon Mémoiie 

 Sur quelques propriétés des fonctions entières (dans le cas particulier où lo 

 genre est nul, l'ordre étant égal à i). Effectivement, des valeurs appro- 

 chées que j'ai calculées pour ces fonctions dans les diverses régions du 

 plan, on peut aisément déduire qu'elles satisfont au théorème de M. Wiman. 

 Mais il y avait, entre les résultats de M. Wiman et les miens, une contra- 

 diction apparente dont je me suis proposé de rechercher la raison. 



» J'ai établi, en effet, que si [ a[^ \ est de l'ordre de >J.(n) le module maxi- 

 mum de la fonction entière correspondante, soit G(z) -+-^'(^), doit être, 

 régulièrement, comparable à M(r)logr. Pour qu'il n'en soit pas ainsi il 

 faut que les zéros a[ , du moins ceux qui déterminent Tordre de ] a,J 



(') Les recherches de M. Hardy, datées du 14 janvier 1904, viennent de paraître dans 

 les Proceedings of the Loiidon Mathematical Society, ser. 2, VoL H, part L Celles 

 de M. Wiman se trouvent dans V.l/kiv for Matheinatik, Astrononii och Fysik, 1904, 

 Band I. 



