SÉANCE DU 8 AOUT I90/4. SgS 



» Il s'agit d'exprimer, en fonction de x,y, z-, i et de leurs dérivées, les 

 quantités (V,,., V^, V^, V,\ (J.,, J,, J., J,), .... Or on a 



V = 



T -r 



.^ dx 



et -^ qz — ry + -r-^ 

 ' "^ du 



(B) 



di_ 

 du 





et des formules analogues pour (J^, J^, J-, J^), .... 



» Après avoir traité les déplacements à un paramètre, il nous reste à 

 étudier les déplacements à 2, 3, 4, 5 paramètres. Supposons, par exemple, 

 que le tétraèdre T,„ dépende de deux paramètres u et v. Lorsque u variera 

 seul, il admettra les vitesses E, -/), t,p, q, r, et, lorsque c variera seul, les 

 vitesses E,, •/),, ^,, /?,, ^,, /',. (a;,, x., x^, x.,), . .., {/,, f., t^, /,) satisfont au 

 système (A) et au système obtenu en remplaçant, dans ce dernier, u par v 

 et en affectant de l'indice i les coefficients ^, •/), X,, p, q, r. On déduit de là, 

 par dérivation, six relations entre les douze fonctions E, . . ., r^. Ce sont les 

 conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il existe un déplacement à deux 

 paramètres dans lequel les vitesses soient 't,, ..., r^. Pour abréger, nous 

 n'écrirons ces relations que dans le cas particulier suivant. Considérons 

 une surface rapportée à ses lignes de courbure cayleyennes w = const., 



ç = const. , et soit 



ds'- = A'- du'- + C'dv- 



l'expression du carré de son élément linéaire. Attachons à tout point O,, de 

 la surface le tétraèdre 0,02 03 0,, défini parla condition que les arêtes O,, O,, 

 O4O0 soient tangentes aux lignes de courbure qui se croisent en ce point. 

 On aura 



^ = AC — qp^. 



ôv au ^' 



» Ces relations ne diffèrent des relations analogues de la Géométrie 



