SÉANCE DU 8 AOUT T904. 399 



les deux autres, défigure (^i) (i) (i 1), ont pour équations 



a-'=b^'=i, c'=^b, d- = a, e- = b^"a, (fj"=o,i), 



h^ ah = c~^ ac=^ d~^ ad = e 'ae = a, 



c ^bc = d^^ bd = e ' be — b, d^^cd = er ' ce = cb, e-'de = de. » 



ANALYSE MATHÉMATIQI'E. — Sur un théorème de M. Borel dans la théorie des 

 fonctions entières. Note de M. RÉxMoundos, présentée par M. Appell. 



« 1. Le théorème de M. Borel, qui a servi de base dans mes recherches 

 sur l'extension (') aux fonctions multiformes du théorème de M. Picard 

 et de ses généralisations, est susceptible d'une extension très intéressante. 



» Si le nombre des exponentielles, qui fie^urent dans les itlentités de 

 M. Borel, est infini, son théorème subsiste-t-il? 



» Voici le problème qui se pose tout naturellement : 



» Considérons l'identité 



(i) Q,(5yM^^)+Q^,(..)^'M-^) + ...+ Q^^(^.)eM^) + ...=:0, 



où les Q,(z) désignent des polynômes et les H/(5) des fonctions entières 

 absolument quelconques. Je démontre que cette identité est impossible, si 

 toutefois une certaine condition, concernant la rapidité de convergence de 

 la série (i), est remplie. 



» J'y arrive jjar une voie détournée, qui consiste en ce que, si l'iden- 

 tité (i) élait possible, il y aurait une fonction multiforme m(^) définie par 

 une équation telle que 



(2) F (s, u) = Ay(^) + A,(5)^^ 4- A2(^)fr + . ..-F A„(^)w"-h. . . = o, 



F (s, m) étant-une fonction entière des z et u, qui admettrait un ensemble 

 dénombrable (E) de valeurs exceptionnelles, ayant un point limite à distance 

 finie. Or, j'ai démontré dans un Mémoire, présenté à la Faculté des Sciences 

 de Paris comme Thèse de l'Université, que l'eusemble des valeurs excep- 



(') Sur les zéros d'une classe de fonctions transcendantes {Comptes rendus, 

 20 avril 1908, 8 février 190/4, 20 juin 1904 et But. Soc. matliém., 1904, fascicule 1). 



