444 ACADÉMIE DES SCIENCES, 



tandis que le second, régissant les quantités Z et m, est 



d f dZ\ ^ 



(5) / (pour ^ = — - "C) Z — I, (pour :; ~ H) f-7^ouZj=o, 



(pour^ = -C) — =.-,/2L_. 



M Or les relations (4) sont celles qui détermineraient la température v, 

 mise sous la forme ordinaire <^ = IlcVe"^'^, dans une plaque à bases imper- 

 méables qui recouvrirait la surface t et aurait, avec/(.r, j) pour tempéra- 

 ture initiale, son contour en partie imperméable et en partie maintenu à 

 zéro, pourvu que l'équation indéfinie de son refroidissement fût 



» Donc, si nous admettons qu'on ait résolu ce problème de retroidisse- 

 menl, les fonctions V, les constantes v, toutes positives, et les cofficients c 

 d'amplitude, seront connus. Or, il est visible qu'alors les trois premières 

 relations (5) détermineront complètement Z et que, finalement, la der- 

 nière relation (5) donnera le coefficient 7?î d'extinction correspondant à 

 chaque valeur de v. On connaîtra donc o. 



» IV. Supposons X — I ou K fonction uniquement de a; et de y. Il viendra, 

 dans les deux cas respectifs d'un fond imperméable et d'un fond orifice, 



_ coh (lIv/7-.v A7) sil,( Hv/7-.v/v) 



Zj = soit > pz -prr , soit 7 ;;:: 7^ i 



, X I coii(Hv/vH-r v/v; sih (Hv/v+ ç\/v) 



7n =^ — vv(tah ou coth) (H y^v + 'C v'v). 



I-'-o 



)) Si l'on pose, pour abréger, (H 4- C) \/v = a, l'expression (7) de m sera 

 proportionnelle à l'une des deux fondions a. tah a ou acotha. Or, on recon- 

 naît aisément que, dans les deux cas, cette fonction croît avec a. Donc m 

 grandit avec a, ou avec v; et la plus petite valeur de v donnera la plus petite 

 de m, celle à laquelle correspond l'expression asymptoLique, cJJe^"'', de 9. 



» V. Les résultats deviennent particulièrement simples quand la profon- 

 deur H est très grande; car, alors, tous les cosinus ou sinus hyperboliques 

 figurant dans (7) sont, du moins pour les valeurs modérées de :;, ceux 

 d'arguments considérables et se réduisent à des moitiés d'exponentielles. 

 Il vient donc, vu que d'ailleurs les tangente et cotangente hyperboliques 



