SÉANCE DU 29 AOUT I904. 459 



THÉORIE DES NOMBRES. — Sur la résolution approchée de certaines congruences. 

 Note de M. Frédéric Riesz, présentée par M. Emile Picard. 



« On sait que, si l'on part d'un point d'une circonférence et qu'on y porte 

 I, 2, 3, ... fois une partie irrationnelle de la périphérie, la série infinie des 

 extrémités sera dense sur toute la circonférence (i). 



» Ce théorème comporte une généralisation. 



)) On désignera par {x) la différence positive du nombres: et du nombre 

 entier immédiatement inférieur. Pour que, étant donnés les nombres a,, 

 a.2, ..., a^, l'ensemble de tous les systèmes (na, ), (^ia,), ..., (no:^) 

 (n prend toutes les valeurs entières positives) soit dense dans tout l'intervalle 



il faut et il suffit qu'il n'existe pas de relation 



(2) «, a, H- a!2='-2 + • • • H- %^-A-^o (modi) 



à coefficients entiers (excepté naturellement le cas singulier 



a, =: «o = . . . = <7;^. = o). 



» On appellera le système [3,, Po, ..., (3^^ (o< p,<| i) point Hmite de l'en- 

 semble formé par tous les systèmes (/^a,), (/zao), ..., (/la;^), si, pour 

 chaque nombre positifs aussi petit que l'on veut, il y a un élément (na,), 

 (71*2), ..., {ny,j^) auXre quep,, po» •••> ^ki tel que les valeurs absolues des 

 différences [3, — (^nai^\ ^.^ — Çny,^)^ •••» Pa — ('^^a) ne soient pas situées 

 entre s et i — e. 



» Or s'il y a entre les a une relation (2) à coefficients entiers (y compris 

 zéro), tout point limite p,, ^.2, ..., Pa: de l'ensemble défini doit aussi satis- 

 faire à la relation 



a^<^^ -h tto^o-h . . .-h aj/^k^o (mod i). 



)) La nécessité de la condition est donc évidente. 



» D'après (i), la condition est aussi suffisante pour le cas ^^ = i. Or, en 

 raisonnant par récurrence, il nous faut démontrer que, si elle l'est pour 

 k — I nombres a, elle l'est aussi pour k nombres. Etant alors donnés k nom- 

 bres a, , 7-2, . . ., oL]^ tels que l'ensemble de tous les éléments (/îa,), (n^.^, . . ., 

 (/ia^) n'a pas tous les points ^,, [^o» •••» pA(o = Pi<Ci) pour points limites, 

 on distinguera deux cas : ou l'on peut chercher k — i des nombres a,, 

 aa, .. . , a^, tels que l'ensemble correspondant n'ait pas tous les points p,, 



